Gleichungen lösen · Erklären & üben

Gleichungen lösen

Die Form der Gleichung entscheidet über deinen Rechenweg. Hier vergleichst du Verfahren für einfache Gleichungen, Klammern, Brüche und Potenzen. Grundmenge ist jeweils die Menge der reellen Zahlen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Grundidee

Notiere zuerst, welche Werte erlaubt sind. Forme dann so um, dass die gesuchte Variable allein steht. Eine Probe in der Ausgangsgleichung schützt vor Rechenfehlern und zusätzlichen Scheinlösungen.

Erst die Struktur erkennen. Klammer → ausmultiplizieren. Nenner → erlaubte Werte prüfen. Potenz → Vorzeichen und Probe beachten

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{x+11=18}$ .

Subtrahiere auf beiden Seiten 11.

\mathsf{x=7}

Probe: $\mathsf{7+11=18}$ .

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{4x=36}$ .

Teile beide Seiten durch 4.

\mathsf{x=9}

Probe: $\mathsf{4\cdot9=36}$ .

Erklärung 02

Lineare Terme sammeln

Steht x auf beiden Seiten, fasse zunächst alle x-Terme auf einer Seite zusammen. Entferne dann die übrigen Summanden.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{7x-4=3x+16}$ .

Subtrahiere 3x.

\mathsf{4x-4=16}

Addiere 4.

\mathsf{4x=20}

Teile durch 4.

\mathsf{x=5}

Probe: Beide Seiten ergeben 31.

Erklärung 03

Klammern auflösen

Ein Faktor vor einer Klammer multipliziert jeden Summanden. Ein Minus vor der Klammer kehrt die Vorzeichen jedes Summanden um.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{3(x+2)-2=16}$ .

Multipliziere die Klammer aus.

\mathsf{3x+6-2=16}

Fasse zusammen.

\mathsf{3x+4=16}

Subtrahiere 4.

\mathsf{3x=12}

Teile durch 3.

\mathsf{x=4}

Probe: $\mathsf{3(4+2)-2=16}$ .

Erklärung 04

Brüche und ausgeschlossene Werte

Ein Nenner darf niemals 0 sein. Bei festen Nennern kannst du mit einem gemeinsamen Vielfachen multiplizieren. Bei einem variablen Nenner notierst du zuerst die ausgeschlossenen Werte.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\frac{x}{3}+2=7}$ .

Subtrahiere 2.

\mathsf{\frac{x}{3}=5}

Multipliziere beide Seiten mit 3.

\mathsf{x=15}

Probe: $\mathsf{15:3+2=7}$ .

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\frac{12}{x}=3}$ .

Der Nenner verbietet $\mathsf{x=0}$ .

Für zulässiges x multipliziere beide Seiten mit x.

\mathsf{12=3x}

Teile durch 3.

\mathsf{x=4}

4 ist zulässig. Probe: $\mathsf{12:4=3}$ .

Erklärung 05

Potenzen: gerade oder ungerade?

Bei einem Quadrat liefern positive und negative Zahlen denselben Wert. Beim Wurzelziehen musst du deshalb beide Vorzeichen berücksichtigen. Eine gerade Potenz kann bei reellen Zahlen nicht negativ sein.

Eine ungerade Potenz behält das Vorzeichen. Zum Beispiel hat $\mathsf{x^3=27}$ genau eine reelle Lösung. Bei höheren Potenzen entscheidet außerdem, ob weitere x-Terme vorkommen. Nicht jede Potenzgleichung lässt sich mit einem einzigen Wurzelzug lösen.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{x^2=49}$ .

Die positive Quadratwurzel ist 7.

Auch das Quadrat von −7 ist 49.

\mathsf{x=7\quad\textsf{oder}\quad x=-7}

Probe: $\mathsf{7^2=49}$ und $\mathsf{(-7)^2=49}$ .

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{x^3=-64}$ und $\mathsf{x^4=16}$ .

Bei der dritten Potenz bleibt das Vorzeichen erhalten.

\mathsf{(-4)^3=-64}

Bei der vierten Potenz liefern beide Vorzeichen denselben Wert.

\mathsf{2^4=16}

\mathsf{(-2)^4=16}

Erklärung 06

Den Rechenweg bewusst wählen

Prüfe die Struktur: Klammer, Nenner oder Potenz? Arbeite schrittweise und halte die Definitionsmenge fest. Die Probe gehört in die ursprüngliche Gleichung, nicht nur in eine umgeformte Zeile.

Ungleichungen verwenden Vergleichszeichen. Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl kehrt sich dort die Richtung um. Das wird im Thema „Ungleichungen lösen“ behandelt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Gleichungen lösen · EinstiegLöse $\mathsf{x-14=9}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Addiere 14.
  $\mathsf{x=23}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{23-14=9}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\{23\}}$
02
Aufgabe 2Gleichungen lösen · EinstiegLöse $\mathsf{9x+2=5x+26}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Subtrahiere 5x.
  $\mathsf{4x+2=26}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Subtrahiere 2.
  $\mathsf{4x=24}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Teile durch 4.
  $\mathsf{x=6}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: Beide Seiten ergeben 56.
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\{6\}}$
03
Aufgabe 3Gleichungen lösen · EinstiegLöse $\mathsf{2(x-3)+5=17}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Multipliziere aus.
  $\mathsf{2x-6+5=17}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Fasse zusammen.
  $\mathsf{2x-1=17}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Addiere 1.
  $\mathsf{2x=18}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Teile durch 2.
  $\mathsf{x=9}$
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{2(9-3)+5=17}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\{9\}}$
04
Aufgabe 4Gleichungen lösen · StandardLöse $\mathsf{10-(x+2)=3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Löse die Minusklammer auf.
  $\mathsf{10-x-2=3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Fasse zusammen.
  $\mathsf{8-x=3}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Subtrahiere 8.
  $\mathsf{-x=-5}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Multipliziere mit −1.
  $\mathsf{x=5}$
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{10-(5+2)=3}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\{5\}}$
05
Aufgabe 5Gleichungen lösen · StandardLöse $\mathsf{\frac{x}{4}+\frac{x}{2}=9}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Multipliziere beide Seiten mit 4.
  $\mathsf{x+2x=36}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Fasse zusammen.
  $\mathsf{3x=36}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Teile durch 3.
  $\mathsf{x=12}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{12:4+12:2=9}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\{12\}}$
06
Aufgabe 6Gleichungen lösen · StandardLöse $\mathsf{\frac{15}{x-1}=5}$ . a) Notiere den ausgeschlossenen Wert. b) Bestimme die Lösungsmenge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Ausgeschlossener Wert mit Begründung
b) Rechenweg und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Nenner darf nicht 0 sein: $\mathsf{x\ne1}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Multipliziere für zulässiges x mit x−1.
  $\mathsf{15=5(x-1)}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Teile durch 5.
  $\mathsf{3=x-1}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Addiere 1.
  $\mathsf{x=4}$
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{15:(4-1)=5}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Ausgeschlossener Wert mit Begründung1 ist ausgeschlossen, weil für $\mathsf{x=1}$ der Nenner 0 wäre.
2. b) Rechenweg und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{4\}}$
07
Aufgabe 7Gleichungen lösen · StandardLöse $\mathsf{x^2=81}$ über den reellen Zahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die positive Quadratwurzel ist 9.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Berücksichtige auch das negative Vorzeichen.
  $\mathsf{9^2=81}$
  $\mathsf{(-9)^2=81}$
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\{-9,9\}}$
08
Aufgabe 8Gleichungen lösen · TransferLöse $\mathsf{x^2=-4}$ über den reellen Zahlen und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Quadrat jeder reellen Zahl ist mindestens 0.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es kann daher nicht −4 ergeben.
Ergebnis
1. Begründung und Antwort $\mathsf{L=\varnothing}$
09
Aufgabe 9Gleichungen lösen · TransferLöse getrennt: a) $\mathsf{x^3=-125}$ , b) $\mathsf{x^4=81}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Rechenweg und Lösungsmenge
b) Rechenweg und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die dritte Potenz behält das Vorzeichen.
  $\mathsf{(-5)^3=-125}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei der vierten Potenz sind beide Vorzeichen möglich.
  $\mathsf{3^4=81}$
  $\mathsf{(-3)^4=81}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Rechenweg und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-5\}}$
2. b) Rechenweg und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-3,3\}}$
10
Aufgabe 10Gleichungen lösen · TransferAus $\mathsf{\sqrt{x}=-3}$ wird durch Quadrieren $\mathsf{x=9}$ . Ist 9 eine Lösung der Ausgangsgleichung? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Quadratwurzel liefert immer den nichtnegativen Wert.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Setze 9 in die Ausgangsgleichung ein.
  $\mathsf{\sqrt{9}=3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  3 ist nicht −3. Durch das Quadrieren entstand eine Scheinlösung.
Ergebnis
1. Rechenweg und AntwortNein. Die Ausgangsgleichung hat keine reelle Lösung.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann einen Lösungsweg begründen.
Ich kann Ergebnisse in der Ausgangsgleichung prüfen.
Ich beachte ausgeschlossene Werte und mehrere mögliche Lösungen.

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