Gleichungen lösen · Erklären & üben

Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung enthält nach dem Zusammenfassen als höchste Potenz $\mathsf{x^2}$ . Hier lösen wir in $\mathsf{\mathbb{R}}$ .

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Form erkennen

Allgemeine Form: $\mathsf{ax^2+bx+c=0}$ mit $\mathsf{a\ne0}$ . Reinquadratisch bedeutet $\mathsf{b=0}$ . Bei gemischten Gleichungen kommt auch ein linearer Term vor.

Ohne konstantes Glied gilt $\mathsf{c=0}$ . Sind alle drei Koeffizienten ungleich null, liegt die vollständige Form vor. $\mathsf{3x^2-12=0}$ ist quadratisch. $\mathsf{3x-12=0}$ ist linear und $\mathsf{x^3-12=0}$ kubisch. Entscheidend ist die vereinfachte Gleichung.

$\mathsf{a\ne0}$ ist notwendig.

Drei Gleichungsstrukturen und geeignete erste Schritte.

Erklärung 02

Wurzeln oder ausklammern

Fehlt der lineare Term, stelle das Quadrat frei. Fehlt das konstante Glied, klammere $\mathsf{x}$ aus. Teile nicht durch $\mathsf{x}$ : Dabei könnte die Lösung null verloren gehen.

$\mathsf{x^2=k}$ : Für $\mathsf{k>0}$ gibt es zwei, für $\mathsf{k=0}$ eine und für $\mathsf{k<0}$ keine reelle Lösung.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2x^2-18=0}$ .

$\mathsf{2x^2=18}$ — auf beiden Seiten 18 addieren.

$\mathsf{x^2=9}$ — beide Seiten durch 2 teilen.

$\mathsf{x=3}$ oder $\mathsf{x=-3}$ — beide Wurzelvorzeichen berücksichtigen.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{3x^2-12x=0}$ .

$\mathsf{3x(x-4)=0}$ — den gemeinsamen Faktor ausklammern.

$\mathsf{x=0}$ oder $\mathsf{x-4=0}$ — Nullprodukt anwenden.

$\mathsf{x=0}$ oder $\mathsf{x=4}$ — die zweite lineare Gleichung lösen.

Erklärung 03

Formeln und Lösungsfälle

Für die Normalform $\mathsf{x^2+px+q=0}$ gilt die pq-Formel: $\mathsf{x=-\frac p2\pm\sqrt{(\frac p2)^2-q}}$ . Vorher durch $\mathsf{a}$ teilen.

Die abc-Formel funktioniert direkt für die allgemeine Form: $\mathsf{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$ .

Die Diskriminante $\mathsf{D=b^2-4ac}$ entscheidet: $\mathsf{D>0}$ ergibt zwei verschiedene reelle Lösungen, $\mathsf{D=0}$ eine doppelte Lösung, $\mathsf{D<0}$ keine reelle Lösung.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2x^2-6x+4=0}$ mit der pq-Formel.

$\mathsf{x^2-3x+2=0}$ — durch 2 teilen.

$\mathsf{p=-3,\ q=2}$ — Koeffizienten ablesen.

$\mathsf{x=\frac32\pm\sqrt{\frac94-2}=\frac32\pm\frac12}$ — einsetzen und Wurzel berechnen.

$\mathsf{x_1=1,\ x_2=2}$ — beide Vorzeichen auswerten.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2x^2+x-3=0}$ mit der abc-Formel.

$\mathsf{a=2,\ b=1,\ c=-3}$ — Koeffizienten mit Vorzeichen ablesen.

$\mathsf{D=1^2-4\cdot2\cdot(-3)=25}$ — Diskriminante berechnen.

$\mathsf{x=\frac{-1\pm5}{4}}$ — in die Formel einsetzen.

$\mathsf{x_1=1,\ x_2=-\frac32}$ — beide Werte berechnen.

Erklärung 04

Vieta und quadratische Ergänzung

Vieta sucht für $\mathsf{x^2+px+q=0}$ zwei Zahlen mit Summe $\mathsf{-p}$ und Produkt $\mathsf{q}$ . Das ist besonders bei einfachen ganzen Lösungen hilfreich.

Bei der quadratischen Ergänzung formst du zu einem Quadrat um. Die ausführlichen Herleitungen und weitere Übungen zu pq, abc, Vieta und Ergänzung folgen im Themenblock „Lösung quadr. Gleichung“.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{x^2-7x+12=0}$ mit Vieta.

$\mathsf{x_1+x_2=7}$ — die Summe muss dem negativen linearen Koeffizienten entsprechen.

$\mathsf{x_1x_2=12}$ — das Produkt muss 12 sein.

$\mathsf{3+4=7,\quad3\cdot4=12}$ — beide Bedingungen sind erfüllt.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{x^2+6x+5=0}$ durch Ergänzen.

$\mathsf{x^2+6x=-5}$ — auf beiden Seiten 5 abziehen.

$\mathsf{x^2+6x+9=4}$ — das Quadrat der halben 6 auf beiden Seiten addieren.

$\mathsf{(x+3)^2=4}$ — binomische Formel anwenden.

$\mathsf{x+3=\pm2}$ — Wurzel ziehen.

$\mathsf{x=-1}$ oder $\mathsf{x=-5}$ — jeweils 3 abziehen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Quadratische Gleichungen · GrundlagenWelche Gleichung ist quadratisch? Begründe: $\mathsf{2x+5=0}$ , $\mathsf{x^2-9=0}$ , $\mathsf{x^3=8}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Nur in $\mathsf{x^2-9=0}$ ist die höchste Potenz nach Vereinfachen zwei.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{x^2-9=0}$
02
Aufgabe 2Quadratische Gleichungen · GrundlagenLöse $\mathsf{5x^2=80}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=16}$ — durch 5 teilen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\pm4}$ — beide Vorzeichen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-4,4\}}$
03
Aufgabe 3Quadratische Gleichungen · GrundlagenLöse $\mathsf{x^2+7=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=-7}$ — 7 abziehen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Ein reelles Quadrat ist nicht negativ.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\varnothing}$
04
Aufgabe 4Quadratische Gleichungen · AnwendenLöse $\mathsf{2x^2+10x=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x(x+5)=0}$ — ausklammern.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0}$ oder $\mathsf{x+5=0}$ — Nullprodukt anwenden.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-5}$ — von der zweiten Gleichung 5 abziehen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-5,0\}}$
05
Aufgabe 5Quadratische Gleichungen · AnwendenLöse $\mathsf{3x^2=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=0}$ — durch 3 teilen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0}$ — nur null hat Quadrat null.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{0\}}$
06
Aufgabe 6Quadratische Gleichungen · AnwendenLöse $\mathsf{x^2-6x+8=0}$ mit der pq-Formel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=-6,\ q=8}$ — ablesen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3\pm\sqrt{9-8}=3\pm1}$ — einsetzen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{2,4\}}$
07
Aufgabe 7Quadratische Gleichungen · AnwendenLöse $\mathsf{3x^2+2x-1=0}$ mit der abc-Formel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=2^2-4\cdot3\cdot(-1)=16}$ — berechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac{-2\pm4}{6}}$ — einsetzen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-1,\frac13\}}$
08
Aufgabe 8Quadratische Gleichungen · VertiefenLöse $\mathsf{x^2+x-12=0}$ mit Vieta.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1+x_2=-1,\ x_1x_2=-12}$ — Bedingungen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-4+3=-1,\ (-4)\cdot3=-12}$ — prüfen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-4,3\}}$
09
Aufgabe 9Quadratische Gleichungen · VertiefenLöse $\mathsf{x^2-4x+1=0}$ durch quadratische Ergänzung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-4x=-1}$ — 1 abziehen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-4x+4=3}$ — 4 ergänzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x-2)^2=3}$ — Quadrat bilden.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-2=\pm\sqrt3}$ — Wurzel ziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2\pm\sqrt3}$ — auf beiden Seiten 2 addieren.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{2-\sqrt3,2+\sqrt3\}}$
10
Aufgabe 10Quadratische Gleichungen · VertiefenBestimme jeweils die Anzahl reeller Lösungen: $\mathsf{x^2-2x+1=0}$ , $\mathsf{x^2+2x+5=0}$ , $\mathsf{x^2-5=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Gleichung: Anzahl und Begründung
Zweite Gleichung: Anzahl und Begründung
Dritte Gleichung: Anzahl und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=4-4=0}$ — eine Lösung.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=4-20=-16}$ — keine reelle Lösung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=0+20=20}$ — zwei Lösungen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Gleichung: Anzahl und Begründung $\mathsf{D=0}$ : genau eine reelle Lösung.
2. Zweite Gleichung: Anzahl und Begründung $\mathsf{D=-16}$ : keine reelle Lösung.
3. Dritte Gleichung: Anzahl und Begründung $\mathsf{D=20}$ : zwei reelle Lösungen.

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