Gleichungen lösen · Erklären & üben

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen führen nach dem Zusammenfassen auf eine Form mit x in erster Potenz. Du löst sie durch gleichwertige Umformungen und unterscheidest die möglichen Lösungsmengen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Variable in erster Potenz

Eine lineare Gleichung mit einer Variablen lässt sich als $\mathsf{ax+b=0}$ mit $\mathsf{a\ne0}$ schreiben. x wird weder quadriert noch steht es im Nenner. Die Koeffizienten a und b sind feste Zahlen.

Beim Umformen können Sonderfälle entstehen: $\mathsf{0x=0}$ gilt für alle reellen x, $\mathsf{0x=5}$ für keines.

Gleiche Höhe bedeutet gleiche Werte. y = 2x + 1. y = 7. Schnittpunkt S(3 | 7): Die Lösung ist x = 3.

Erklärung 02

Sammeln, freistellen, prüfen

Fasse gleichartige Terme zusammen. Rechne auf beiden Seiten dasselbe, bis x allein steht. Setze die gefundene Zahl anschließend in die ursprüngliche Gleichung ein.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{4x+6=30}$ .

Subtrahiere 6 auf beiden Seiten.

\mathsf{4x=24}

Teile durch 4.

\mathsf{x=6}

Setze 6 zur Probe ein.

\mathsf{4\cdot6+6=30}

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2(x+4)=5x-7}$ .

Multipliziere die linke Klammer aus.

\mathsf{2x+8=5x-7}

Subtrahiere 2x.

\mathsf{8=3x-7}

Addiere 7.

\mathsf{15=3x}

Teile durch 3.

\mathsf{x=5}

Probe: Links und rechts entsteht 18.

Erklärung 03

Eine, keine oder alle Lösungen

Nach dem Sammeln steht oft $\mathsf{ax=b}$ . Für $\mathsf{a\ne0}$ gibt es genau eine Lösung $\mathsf{x=\frac{b}{a}}$ . Für $\mathsf{a=0}$ entscheidet die rechte Seite: 0 bedeutet alle reellen Zahlen, ein Wert ungleich 0 bedeutet keine Lösung.

Grafisch vergleichst du die Funktionswerte beider Seiten. Der x-Wert eines Schnittpunkts löst die Gleichung. Parallele verschiedene Geraden haben keinen Schnittpunkt. Identische Geraden stimmen überall überein.

Quadratische Gleichungen enthalten ein Quadrat als höchste Potenz und gehören zum gleichnamigen Folgethema.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Lineare Gleichungen · EinstiegLöse $\mathsf{3x+8=29}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Subtrahiere 8.
  $\mathsf{3x=21}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Teile durch 3.
  $\mathsf{x=7}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{3\cdot7+8=29}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\{7\}}$
02
Aufgabe 2Lineare Gleichungen · EinstiegLöse $\mathsf{5(x-1)=2x+13}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Multipliziere aus.
  $\mathsf{5x-5=2x+13}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Subtrahiere 2x.
  $\mathsf{3x-5=13}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Addiere 5.
  $\mathsf{3x=18}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Teile durch 3.
  $\mathsf{x=6}$
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: Beide Seiten ergeben 25.
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\{6\}}$
03
Aufgabe 3Lineare Gleichungen · EinstiegWelche Gleichungen sind linear? Begründe für jede: a) $\mathsf{2x-9=0}$ , b) $\mathsf{x^2=9}$ , c) $\mathsf{\frac{x}{4}=3}$ , d) $\mathsf{\frac{4}{x}=3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Einordnung und Begründung
b) Einordnung und Begründung
c) Einordnung und Begründung
d) Einordnung und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ein fester Nenner ist nur ein Koeffizient. Eine Variable im Nenner ergibt eine Bruchgleichung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Einordnung und BegründungLinear: x steht in erster Potenz.
2. b) Einordnung und BegründungNicht linear: x wird quadriert.
3. c) Einordnung und BegründungLinear: $\mathsf{\frac{x}{4}=\frac14x}$ hat x nur in erster Potenz.
4. d) Einordnung und BegründungNicht linear: x steht im Nenner.
04
Aufgabe 4Lineare Gleichungen · StandardLöse $\mathsf{-4x+7=19}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Subtrahiere 7.
  $\mathsf{-4x=12}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Teile durch −4.
  $\mathsf{x=-3}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{-4(-3)+7=19}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\{-3\}}$
05
Aufgabe 5Lineare Gleichungen · StandardLöse $\mathsf{0{,}5x+2=6}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Subtrahiere 2.
  $\mathsf{0{,}5x=4}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Teile durch 0,5.
  $\mathsf{x=8}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Probe: $\mathsf{0{,}5\cdot8+2=6}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\{8\}}$
06
Aufgabe 6Lineare Gleichungen · StandardLöse $\mathsf{6x+2=6x-3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Subtrahiere 6x.
  $\mathsf{2=-3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Aussage ist falsch.
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\varnothing}$
07
Aufgabe 7Lineare Gleichungen · StandardLöse $\mathsf{3(x+2)=3x+6}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Multipliziere links aus.
  $\mathsf{3x+6=3x+6}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Seiten stimmen für jedes x überein.
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort $\mathsf{L=\mathbb{R}}$
08
Aufgabe 8Lineare Gleichungen · TransferEin Verleih verlangt 4 Euro Grundpreis und 3 Euro je Stunde. Die Rechnung beträgt 25 Euro. Stelle eine Gleichung auf und bestimme die Mietdauer.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Sei x die Anzahl der Stunden.
  $\mathsf{4+3x=25}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Subtrahiere 4.
  $\mathsf{3x=21}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Teile durch 3.
  $\mathsf{x=7}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{4+3\cdot7=25}$ .
Ergebnis
1. Rechenweg und AntwortDie Mietdauer beträgt 7 Stunden.
09
Aufgabe 9Lineare Gleichungen · TransferFür welchen x-Wert stimmen $\mathsf{y=2x+1}$ und $\mathsf{y=7}$ überein? a) Berechne den x-Wert. b) Gib den Schnittpunkt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Rechenweg und x-Wert
b) Schnittpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Setze die y-Werte gleich.
  $\mathsf{2x+1=7}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Subtrahiere 1.
  $\mathsf{2x=6}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Teile durch 2.
  $\mathsf{x=3}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Setze x ein: $\mathsf{y=7}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Rechenweg und x-Wert $\mathsf{x=3}$
2. b) Schnittpunkt $\mathsf{S(3\mid7)}$
10
Aufgabe 10Lineare Gleichungen · TransferEine Schülerin erhält aus $\mathsf{2x+5=x+9}$ die Zahl 14. Prüfe ihr Ergebnis und löse richtig.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Antwort
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Probe mit 14: links 33, rechts 23.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Subtrahiere x in der Ausgangsgleichung.
  $\mathsf{x+5=9}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Subtrahiere 5.
  $\mathsf{x=4}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Probe: Beide Seiten ergeben 13.
Ergebnis
1. Rechenweg und Antwort14 ist falsch. $\mathsf{L=\{4\}}$ .

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann einen Lösungsweg begründen.
Ich kann Ergebnisse in der Ausgangsgleichung prüfen.
Ich beachte ausgeschlossene Werte und mehrere mögliche Lösungen.

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