Teilbarkeit · Erklären & üben

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Du bestimmst das kleinste positive gemeinsame Vielfache mit Listen und Primfaktoren und deutest es bei wiederkehrenden Ereignissen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Das kleinste positive gemeinsame Vielfache

Wir betrachten ausschließlich positive ganze Ausgangszahlen. Ein gemeinsames Vielfaches ist durch jede Ausgangszahl ohne Rest teilbar. Das kgV ist das kleinste positive gemeinsame Vielfache. 0 ist zwar ein Vielfaches jeder Zahl, wird bei der Suche nach dem kgV aber ausdrücklich ausgeschlossen.

Bilde positive Vielfache beider Zahlen.
Suche die kleinste Zahl, die in beiden Listen vorkommt.

Gesucht ist ein Vielfaches, kein Teiler.

Beide Linien verwenden dieselbe Skala. 12 ist auf beiden Reihen als erster gemeinsamer Wert eingekreist.

So geht es am Beispiel

Bestimme das kgV von 4 und 6 mit Listen.

Positive Vielfache von 4 sind 4, 8, 12, 16, 20, 24 und so weiter.

Positive Vielfache von 6 sind 6, 12, 18, 24 und so weiter.

Die erste gemeinsame Zahl ist 12.

Erklärung 02

Primfaktoren mit größtem Exponenten

Ein gemeinsames Vielfaches muss jeden Primfaktor in ausreichender Anzahl enthalten. Für das kleinste genügende Produkt wählst du bei jedem vorkommenden Primfaktor den größten Exponenten. Ein fehlender Primfaktor hat Exponent 0.

Zerlege jede Ausgangszahl vollständig in Primfaktoren.
Wähle für jeden vorkommenden Primfaktor den höchsten Exponenten.
Multipliziere die gewählten Potenzen.

Beim kgV werden die größten Exponenten übernommen.

Die größten Exponenten reichen für beide Zahlen und ergeben das kleinste gemeinsame Vielfache.

So geht es am Beispiel

Bestimme das kgV von 18 und 24.

Zerlege die erste Zahl: $\mathsf{18=2\cdot3^{2}}$ .

Zerlege die zweite Zahl: $\mathsf{24=2^{3}\cdot3}$ .

Für den Primfaktor 2 wird der größere Exponent 3 gewählt.

Für den Primfaktor 3 wird der größere Exponent 2 gewählt.

Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{2^{3}\cdot3^{2}=72}$ .

So geht es am Beispiel

Bestimme das kgV von 15 und 28.

Zerlege die erste Zahl: $\mathsf{15=3\cdot5}$ .

Zerlege die zweite Zahl: $\mathsf{28=2^{2}\cdot7}$ .

Für den Primfaktor 2 wird der größere Exponent 2 gewählt.

Für den Primfaktor 3 wird der größere Exponent 1 gewählt.

Für den Primfaktor 5 wird der größere Exponent 1 gewählt.

Für den Primfaktor 7 wird der größere Exponent 1 gewählt.

Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{2^{2}\cdot3\cdot5\cdot7=420}$ .

Erklärung 03

Gemeinsame Wiederholung

Wenn zwei Abläufe gleichzeitig starten und dann in festen ganzzahligen Zeitabständen wiederkehren, beschreibt das kgV dieser Abstände das erste erneute gemeinsame Ereignis. Der Startzeitpunkt selbst zählt nicht als erneute Wiederholung.

Benutze dieselbe Zeiteinheit für beide Abstände.
Berechne das kgV.
Formuliere das Ergebnis als Zeit nach dem gemeinsamen Start.

Achte auf „erstmals wieder“, damit der Zeitpunkt 0 ausgeschlossen ist.

Zwei explizite Zeitfolgen zeigen die gemeinsame Wiederholung nach24 Minuten.

So geht es am Beispiel

Zwei Signale starten gemeinsam und wiederholen sich alle 6 bzw. 8 Minuten. Wann treffen sie erstmals wieder zusammen?

Vielfache von 6 sind 6, 12, 18, 24 und so weiter.

Vielfache von 8 sind 8, 16, 24 und so weiter.

Der erste positive gemeinsame Zeitpunkt ist 24.

Erklärung 04

kgV und ggT unterscheiden

Der ggT ist der größte gemeinsame positive Teiler, das kgV das kleinste gemeinsame positive Vielfache. Für zwei positive ganze Zahlen gilt: ggT mal kgV ist das Produkt der beiden Zahlen. Das Thema Größter gemeinsamer Teiler vertieft die Teilerseite. Die Produktformel gilt in dieser Form nicht allgemein für drei Zahlen.

Prüfe, ob die Aufgabe gemeinsame Teiler oder gemeinsame Vielfache sucht.
Nutze die Produktbeziehung bei genau zwei positiven ganzen Zahlen zur Kontrolle.

$\mathsf{\operatorname{\textsf{ggT}}(a,b)\cdot\operatorname{\textsf{kgV}}(a,b)=a\cdot b}$

So geht es am Beispiel

Kontrolliere das kgV von 4 und 6.

Der ggT von 4 und 6 ist 2.

Die Probe links ergibt $\mathsf{2\cdot12=24}$ .

Das Produkt der Ausgangszahlen ergibt $\mathsf{4\cdot6=24}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) · 1Bestimme das kgV von 3 und 5 durch positive Vielfachenlisten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Liste für 3
Liste für 5
kgV
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vielfache von 3 bis zum Treffer: 3, 6, 9, 12, 15.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Vielfache von 5 bis zum Treffer: 5, 10, 15.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der erste gemeinsame Wert ist 15.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Liste für 33, 6, 9, 12, 15.
2. Liste für 55, 10, 15.
3. kgV15.
02
Aufgabe 2Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) · 1Bestimme das kgV von 6 und 9 mit Vielfachenlisten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vielfache von 6 bis zum Treffer
Vielfache von 9 bis zum Treffer
kgV
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Positive Vielfache von 6 beginnen mit 6, 12, 18.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Positive Vielfache von 9 beginnen mit 9, 18.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die erste gemeinsame Zahl ist 18.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vielfache von 6 bis zum Treffer6, 12, 18.
2. Vielfache von 9 bis zum Treffer9, 18.
3. kgV18.
03
Aufgabe 3Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) · 2Bestimme das kgV von 8 und 12 mit Primfaktoren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zerlegung von 8
Zerlegung von 12
kgV
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlege die erste Zahl: $\mathsf{8=2^{3}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zerlege die zweite Zahl: $\mathsf{12=2^{2}\cdot3}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für den Primfaktor 2 wird der größere Exponent 3 gewählt.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Für den Primfaktor 3 wird der größere Exponent 1 gewählt.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{2^{3}\cdot3=24}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zerlegung von 8 $\mathsf{8=2^3}$
2. Zerlegung von 12 $\mathsf{12=2^2\cdot3}$
3. kgV24.
04
Aufgabe 4Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) · 2Bestimme das kgV von 14 und 25 mit Primfaktoren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zerlegung von 14
Zerlegung von 25
kgV
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlege die erste Zahl: $\mathsf{14=2\cdot7}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zerlege die zweite Zahl: $\mathsf{25=5^{2}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für den Primfaktor 2 wird der größere Exponent 1 gewählt.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Für den Primfaktor 5 wird der größere Exponent 2 gewählt.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Für den Primfaktor 7 wird der größere Exponent 1 gewählt.
6. Schritt 6 · Erklärung
  Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{2\cdot5^{2}\cdot7=350}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zerlegung von 14 $\mathsf{14=2\cdot7}$
2. Zerlegung von 25 $\mathsf{25=5^2}$
3. kgV350.
05
Aufgabe 5Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) · 2Bestimme das kgV von 7 und 35. Begründe ohne lange Listen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
kgV
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  35 ist durch 7 und durch 35 teilbar.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jedes positive Vielfache von 35 ist mindestens 35.
Ergebnisse & Teilantworten
1. kgV35.
2. Begründung35 ist bereits ein Vielfaches von 7 und das kleinste positive Vielfache von 35.
06
Aufgabe 6Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) · 2Zwei Lampen blinken beim Start gemeinsam. Danach blinkt eine alle 10 Sekunden, die andere alle 15 Sekunden. Nach wie vielen Sekunden blinken sie erstmals wieder gemeinsam?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeit nach dem Start
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlege die erste Zahl: $\mathsf{10=2\cdot5}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zerlege die zweite Zahl: $\mathsf{15=3\cdot5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für den Primfaktor 2 wird der größere Exponent 1 gewählt.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Für den Primfaktor 3 wird der größere Exponent 1 gewählt.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Für den Primfaktor 5 wird der größere Exponent 1 gewählt.
6. Schritt 6 · Erklärung
  Das Produkt der gewählten Primzahlpotenzen ergibt $\mathsf{2\cdot3\cdot5=30}$ .
7. Schritt 7 · Erklärung
  Das kgV der Zeitabstände ist der erste erneute gemeinsame Zeitpunkt.
Ergebnis
1. Zeit nach dem Start30 Sekunden.
07
Aufgabe 7Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) · 3Bestimme das kgV von 4,6 und 10 mit Primfaktoren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gewählte Primzahlpotenzen
kgV
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{4=2^2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{6=2\cdot3}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{10=2\cdot5}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die höchsten Exponenten liefern $\mathsf{2^2\cdot3\cdot5=60}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gewählte Primzahlpotenzen $\mathsf{2^2}$ , $\mathsf{3}$ , $\mathsf{5}$
2. kgV60.
08
Aufgabe 8Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) · 2Jemand sagt: „Das kgV von 6 und 10 ist 0, weil 0 durch beide teilbar ist.“ Korrigiere die Aussage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrektur
Richtiges kgV
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  0 ist ein gemeinsames Vielfaches, aber nicht positiv.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für das kgV suchen wir ausdrücklich das kleinste positive gemeinsame Vielfache.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Primfaktoren liefern $\mathsf{2\cdot3\cdot5=30}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Korrektur0 wird ausgeschlossen, weil das kgV positiv sein muss.
2. Richtiges kgV30.
09
Aufgabe 9Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) · 3Für 16 und 20 ist der ggT gleich 4. Berechne damit das kgV und kontrolliere die Teilbarkeit durch beide Zahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
kgV
Kontrolle für 16
Kontrolle für 20
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{16\cdot20=320}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Produktbeziehung liefert $\mathsf{320:4=80}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{80:16=5}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{80:20=4}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. kgV80.
2. Kontrolle für 16 $\mathsf{80:16=5}$
3. Kontrolle für 20 $\mathsf{80:20=4}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich schließe 0 bei der kgV-Suche aus.
Ich kann Listen- und Primfaktormethode anwenden.
Ich verwende die höchsten Exponenten.

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