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Grundwert, Anteil und Prozentsatz · Erklären & üben

Grundwert berechnen

Ist ein Anteil und sein Prozentsatz bekannt, kannst du die zugehörige Gesamtmenge berechnen. Diese Bezugsgröße ist der Grundwert und entspricht hundert Prozent.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vom bekannten Anteil zum Ganzen

Aus W=G⋅p100\mathsf{W=G\cdot\frac p{100}} folgt für p ungleich null die Formel G=Wp/100\mathsf{G=\frac W{p/100}}. Dabei steht p für die Prozentzahl. Teile den Anteil durch den Prozentfaktor, nicht durch die Prozentzahl allein. Das Ergebnis hat dieselbe Einheit wie der Anteil.

  1. Bestimme W und p

  2. Teile W durch den Faktor p durch hundert.

Ein nichtnulliger Prozentsatz ermöglicht das Rückrechnen.

Ein Balken zeigt fünfunddreißig Prozent als vierundachtzig Liter. Der volle Balken steht für die gesuchte Menge zu hundert Prozent. Teilen durch null Komma fünfunddreißig ergibt zweihundertvierzig Liter.

So geht es am Beispiel

84 Liter entsprechen 35 Prozent eines Behälters. Wie groß ist die volle Füllmenge?

G=84 l0,35\mathsf{G=\frac{84\,\mathsf{l}}{0{,}35}}

G=240 l\mathsf{G=240\,\mathsf{l}}

Ergebnis

240 Liter

So geht es am Beispiel

Drei gleich große Pizzastücke entsprechen 37,5 Prozent einer ganzen Pizza. Aus wie vielen solchen Stücken besteht sie?

G=30,375\mathsf{G=\frac3{0{,}375}}

G=8\mathsf{G=8}

Ergebnis

8 gleich große Stücke

Erklärung 02

Dreisatz über ein Prozent

Teile die bekannte Menge durch die Prozentzahl, um die Menge zu einem Prozent zu finden. Multipliziere anschließend mit hundert. Dieser Dreisatz setzt denselben proportionalen Bezug voraus und ist nur für eine Prozentzahl ungleich null möglich. Dreisatz Prozent behandelt diese Darstellung ausführlicher.

  1. Von p Prozent auf ein Prozent teilen

  2. Von einem Prozent auf hundert Prozent multiplizieren.

Der Zwischenschritt ein Prozent behält die Mengeneinheit.

Dreisatztabelle: sechzig Prozent entsprechen achtzehn Spielern. Division beider Seiten durch sechzig ergibt ein Prozent und null Komma drei Spieler. Multiplikation mit hundert ergibt hundert Prozent und dreißig Spieler.

So geht es am Beispiel

18 Spieler sind 60 Prozent eines Kaders. Bestimme die Kadergröße über ein Prozent.

18:60=0,3\mathsf{18:60=0{,}3}

0,3⋅100=30\mathsf{0{,}3\cdot100=30}

Ergebnis

30 Spieler; 0,3 Spieler je Prozent ist nur eine rechnerische Zwischenmenge.

Erklärung 03

Vermehrter und verminderter Ausgangswert

Nach einer Erhöhung um fünfzehn Prozent entspricht der neue Wert hundertfünfzehn Prozent des alten. Nach einem Rabatt von sechzehn Prozent bleiben vierundachtzig Prozent. Wenn der neue Wert gegeben ist, rechne mit diesem verbleibenden oder vermehrten Prozentsatz zum alten Grundwert zurück.

  1. Übersetze die Änderung in den Prozentsatz des neuen Werts

  2. Teile dann durch diesen Faktor.

Der neue Gesamtwert ist nicht der Änderungsbetrag.

Ein Gesamtbalken zerfällt maßstäblich in vierundachtzig Prozent verbleibenden Preis und sechzehn Prozent Rabatt. Zweihundertzweiundfünfzig Euro entsprechen dem verbleibenden Preis, nicht dem Rabatt. Der Ausgangspreis beträgt dreihundert Euro.

So geht es am Beispiel

Ein neuer Preis von 299 Euro enthält eine Erhöhung um 15 Prozent. Wie hoch war der alte Preis?

100+15=115\mathsf{100+15=115}

G=299 Euro1,15\mathsf{G=\frac{299\,\mathsf{Euro}}{1{,}15}}

G=260 Euro\mathsf{G=260\,\mathsf{Euro}}

Ergebnis

260 Euro

So geht es am Beispiel

Eine Konsole kostet nach 16 Prozent Rabatt 252 Euro. Bestimme den ursprünglichen Preis.

100−16=84\mathsf{100-16=84}

G=252 Euro0,84\mathsf{G=\frac{252\,\mathsf{Euro}}{0{,}84}}

G=300 Euro\mathsf{G=300\,\mathsf{Euro}}

Ergebnis

300 Euro

Erklärung 04

Probe und Grenzfälle

Multipliziere den berechneten Grundwert wieder mit dem gegebenen Faktor. So erhältst du den ursprünglichen Anteil. Bei null Prozent und Anteil null ist der Grundwert nicht eindeutig bestimmt. Bei null Prozent und einem Anteil ungleich null sind die Angaben widersprüchlich. Deshalb wird in der Grundwertformel die Prozentzahl null ausgeschlossen.

  1. Führe die Rückprobe durch

  2. Prüfe, ob der Prozentsatz ein Rückrechnen überhaupt erlaubt.

Durch den Faktor null darf nicht geteilt werden.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Grundwert berechnen · 148 Kilogramm sind 20 Prozent einer Lieferung. Berechne den Grundwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      G=48 kg0,20\mathsf{G=\frac{48\,\mathsf{kg}}{0{,}20}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      G=240 kg\mathsf{G=240\,\mathsf{kg}}

    Ergebnis

    1. Grundwert240 Kilogramm
  2. Aufgabe 2Grundwert berechnen · 127 Karten entsprechen 15 Prozent aller Karten. Rechne über ein Prozent. Nenne die Zwischenmenge und den Grundwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      27:15=1,8\mathsf{27:15=1{,}8}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      1,8⋅100=180\mathsf{1{,}8\cdot100=180}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Menge zu einem Prozent1,8 Karten
    2. Grundwert180 Karten
  3. Aufgabe 3Grundwert berechnen · 14 gleich große Stücke sind 25 Prozent einer rechteckigen Pizza. Aus wie vielen solchen Stücken besteht die ganze Pizza?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      G=40,25\mathsf{G=\frac4{0{,}25}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      G=16\mathsf{G=16}

    Ergebnis

    1. Gesamtzahl der Stücke16
  4. Aufgabe 4Grundwert berechnen · 239 Euro entsprechen 12 Prozent eines Preises. Berechne den vollständigen Preis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      G=39 Euro0,12\mathsf{G=\frac{39\,\mathsf{Euro}}{0{,}12}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      G=325 Euro\mathsf{G=325\,\mathsf{Euro}}

    Ergebnis

    1. Vollständiger Preis325 Euro
  5. Aufgabe 5Grundwert berechnen · 2Eine Konsole kostet nach 20 Prozent Rabatt 344 Euro. Bestimme den alten Preis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      100−20=80\mathsf{100-20=80}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      G=344 Euro0,80\mathsf{G=\frac{344\,\mathsf{Euro}}{0{,}80}}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      G=430 Euro\mathsf{G=430\,\mathsf{Euro}}

    Ergebnis

    1. Alter Preis430 Euro
  6. Aufgabe 6Grundwert berechnen · 2Eine Trainingsgruppe ist um 25 Prozent gewachsen und hat jetzt 35 Mitglieder. Wie viele Mitglieder hatte sie vorher?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      100+25=125\mathsf{100+25=125}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      G=351,25\mathsf{G=\frac{35}{1{,}25}}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      G=28\mathsf{G=28}

    Ergebnis

    1. Ursprüngliche Mitgliederzahl28
  7. Aufgabe 7Grundwert berechnen · 372 Meter sind 30 Prozent einer Strecke. Berechne den Grundwert und danach den Anteil von 45 Prozent derselben Strecke.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      G=72 m0,30\mathsf{G=\frac{72\,\mathsf{m}}{0{,}30}}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      G=240 m\mathsf{G=240\,\mathsf{m}}

    3. Schritt 3 · Erklärung

      W=240 m⋅0,45\mathsf{W=240\,\mathsf{m}\cdot0{,}45}

    4. Schritt 4 · Erklärung

      W=108 m\mathsf{W=108\,\mathsf{m}}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Grundwert240 Meter
    2. Anteil zu 45 Prozent108 Meter
  8. Aufgabe 8Grundwert berechnen · 3Jemand berechnet aus Anteil 56 Euro und 14 Prozent den Grundwert als 56 geteilt durch 14 gleich 4 Euro. Ist das der Grundwert? Nenne den richtigen Grundwert und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      56:14=4\mathsf{56:14=4}

    2. Schritt 2 · Erklärung

      4⋅100=400\mathsf{4\cdot100=400}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Sind vier Euro der Grundwert?Nein
    2. Richtiger Grundwert400 Euro
    3. BegründungVier Euro entsprechen erst einem Prozent. Der Grundwert entspricht hundert Prozent und ist deshalb hundertmal so groß.
  9. Aufgabe 9Grundwert berechnen · 3Null Prozent einer unbekannten positiven Gesamtmenge ergeben null Liter. Lässt sich daraus ein eindeutiger Grundwert bestimmen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Jede positive Gesamtmenge ergibt beim Multiplizieren mit null den Anteil null.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Eindeutig bestimmbar?Nein
    2. BegründungDie Angabe gilt für jede positive Gesamtmenge. Durch den Prozentfaktor null darf nicht dividiert werden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich benenne die Bezugsgröße.
  • Ich unterscheide Prozentzahl, Prozentfaktor und Mengenwert.
  • Ich prüfe Einheit und gesuchte Größe.

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