Dreieck Aufbau · Erklären & üben

Kathetensatz

Der Kathetensatz verbindet eine Kathete mit ihrer Projektion auf die Hypotenuse. Entscheidend ist, den richtigen Abschnitt zu wählen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Welche Projektion gehört zur Kathete?

Im Dreieck ABC ist C rechtwinklig. D ist der Lotfuß auf AB. Hier gilt c = AB, p = AD und q = DB. Zu b = AC gehört p; zu a = BC gehört q.

Finde die gemeinsame Hypotenusenecke von Kathete und Abschnitt.
Verwende die ganze Hypotenuse als zweiten Faktor.

$\mathsf{b^2=cp,\qquad a^2=cq}$

AC=b projiziert auf AD=p; BC=a projiziert auf BD=q.

Erklärung 02

Die gesuchte Größe freistellen

Bei gesuchter Kathete ziehst du die Wurzel. Bei gesuchtem Abschnitt oder gesuchter Hypotenuse teilst du das Kathetenquadrat durch die bekannte Länge. Alle Längen sind positiv; eine Projektion ist kleiner als die ganze Hypotenuse.

Schreibe zuerst die passende Gleichung.
Stelle nach der gesuchten Länge um.
Prüfe die Größenordnung.

$\mathsf{p=\frac{b^2}{c},\qquad c=\frac{b^2}{p}}$

So geht es am Beispiel

c = 10 cm und p = 6,4 cm. Berechne b.

\mathsf{b^2=10\cdot6{,}4=64\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{b=8\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Begründung durch ähnliche Dreiecke

Voraussetzung: Ähnlichkeit nach zwei gleichen Winkeln. ADC und ACB haben den Winkel bei A gemeinsam und je einen rechten Winkel. Die Seiten AD und AC entsprechen einander; AC und AB entsprechen einander.

Notiere das Verhältnis entsprechender Seiten.
Multipliziere mit bc.

$\mathsf{\frac{p}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow b^2=cp}$

So geht es am Beispiel

Welche Gleichung folgt für die andere Kathete?

CDB und ACB sind ebenfalls ähnlich.

\mathsf{\frac{q}{a}=\frac{a}{c}}

\mathsf{a^2=cq}

Erklärung 04

Ein Rechteck als gleich großes Quadrat

Ein Rechteck mit Seiten c und p lässt sich in ein flächengleiches Quadrat umformen. Wähle c als längere Seite. Zeichne AB = c und markiere D mit AD = p. Der Halbkreis über AB schneidet das Lot durch D in C. Nach Thales ist ABC rechtwinklig; die Quadratseite ist AC. Bei einem bereits quadratischen Rechteck entfällt die Konstruktion.

Zeichne den Halbkreis über der längeren Rechteckseite.
Errichte in D das Lot bis zum Halbkreis.
Übertrage AC als Quadratseite.

$\mathsf{|AC|^2=cp}$

Halbkreis mit Durchmesser 9; AD 4, DB 5, Lot beiD; AC hat Länge 6.

So geht es am Beispiel

Ein Rechteck ist 9 cm lang und 4 cm breit. Bestimme die Quadratseite.

\mathsf{b^2=9\cdot4=36\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{b=6\,\mathsf{cm}}

Erklärung 05

Abgrenzung zum Höhensatz

Die Kathete nutzt die ganze Hypotenuse und einen Abschnitt. Die Höhe nutzt beide Abschnitte. Im Thema Höhensatz übst du diese andere Verbindung und ihre Umkehrung.

Unterscheide b von h.
Ordne die beiden Faktoren zu.

$\mathsf{b^2=cp,\qquad h^2=pq}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Kathetensatz · Anwendenc = 13 cm und p = 4 cm. Berechne b exakt und auf zwei Dezimalstellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Exakte Länge
Gerundete Länge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b=\sqrt{13\cdot4}=2\sqrt{13}\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{b\approx7{,}21\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Exakte Länge $\mathsf{2\sqrt{13}\,\mathsf{cm}}$
2. Gerundete Länge7,21 cm
02
Aufgabe 2Kathetensatz · AnwendenEine Kathete b ist 12 cm lang; die Hypotenuse ist 18 cm lang. Berechne die zugehörige Projektion p.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Projektion p
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p=\frac{12^2}{18}=8\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Projektion p8 cm
03
Aufgabe 3Kathetensatz · Anwendenb = 10 cm und p = 8 cm. Berechne c und den anderen Abschnitt q.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Hypotenuse
Anderer Abschnitt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=\frac{10^2}{8}=12{,}5\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{q=12{,}5-8=4{,}5\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Hypotenuse12,5 cm
2. Anderer Abschnitt4,5 cm
04
Aufgabe 4Kathetensatz · AnwendenIn ABC mit rechtem Winkel C ist D der Lotfuß auf AB. Welche Strecke ist die Projektion von BC? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Projektion
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  B bleibt bei der Projektion auf AB fest; C wird auf D projiziert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. ProjektionBD
2. BegründungDie Endpunkte B und C werden auf B und D abgebildet.
05
Aufgabe 5Kathetensatz · AnwendenDie Vorlage zeigt AB = 9 und AD = 4 Längeneinheiten. Ergänze Halbkreis und Lot bis C. Markiere AC als Quadratseite zum Rechteck 9 mal 4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Konstruktion
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Konstruktion
Quadratseite
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  D liegt 4 Einheiten von A entfernt.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Schnitt des Lots mit dem Halbkreis ist C; AC ist die gesuchte Seite.
  $\mathsf{|AC|=\sqrt{9\cdot4}=6}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. KonstruktionHalbkreis über AB, Lot durch D bis C; AC markiert.
2. Quadratseite6 Längeneinheiten
06
Aufgabe 6Kathetensatz · AnwendenJemand nennt c = 7 cm und die Kathete b = 9 cm. Warum können diese Daten nicht zu einem rechtwinkligen Dreieck gehören?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Hypotenuse ist die längste Seite.
  $\mathsf{p=\frac{81}{7}>7}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Auch die errechnete Projektion wäre länger als die ganze Hypotenuse.
Ergebnis
1. Begründungb darf nicht größer als c sein; die Daten sind unmöglich.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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