Optimierung · Erklären & üben

Lineare Optimierung

Bei linearer Optimierung suchst du den größten oder kleinsten Wert einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen. Hier lösen wir begrenzte Maximierungsprobleme mit zwei Variablen grafisch und durch Eckpunktvergleich.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Variablen und eigenes Produktionsmodell

Eine erfundene Werkstatt fertigt die Produkte A und B. x und y geben die jeweiligen Stückzahlen pro Tag an. Ein Stück A benötigt zwei Maschinenstunden und ein Stück B eine. Insgesamt sind acht Maschinenstunden verfügbar. Verpackt werden höchstens sechs Stück täglich, davon höchstens fünf Stück B. Der Beitrag zum Tagesergebnis beträgt vier Euro je A und drei Euro je B. Zunächst betrachten wir die kontinuierliche Modellfassung mit reellen $\mathsf{x,y\ge0}$ ; für tatsächliche Stückzahlen ist Ganzzahligkeit nötig.

Definiere beide Variablen mit Einheiten.
Benenne die verfügbare Zeitspanne.
Trenne kontinuierliche Mengen von ganzen Stückzahlen.

Variablen, Einheiten und Modellannahmen zuerst festlegen.

So geht es am Beispiel

Formuliere die Variablen und die Zielfunktion des Werkstattmodells.

x zählt die täglich gefertigten Stück A.

y zählt die täglich gefertigten Stück B.

Die Beiträge werden addiert: $\mathsf{Z=4x+3y}$ .

Erklärung 02

Nebenbedingungen als Halbebenen

Jede Kapazitätsgrenze liefert eine Ungleichung. Hier gelten $\mathsf{x+y\le6}$ , $\mathsf{2x+y\le8}$ und $\mathsf{y\le5}$ . Hinzu kommen $\mathsf{x\ge0}$ und $\mathsf{y\ge0}$ . Eine Randgerade entsteht durch Ersetzen des Ungleichheitszeichens durch Gleichheit. Ein Testpunkt, der nicht auf der Geraden liegt, bestimmt die erlaubte Seite. Der zulässige Bereich ist der gemeinsame Teil aller Halbebenen einschließlich der Ränder.

Zeichne die Randgeraden.
Teste die Richtung jeder Ungleichung.
Schneide alle erlaubten Seiten mit dem ersten Quadranten.

Eine Lösung muss alle Nebenbedingungen gleichzeitig erfüllen.

Werkstatt: Schnitt aller erlaubten Halbebenen. Schraffierter Bereich: alle Bedingungen gleichzeitig erfüllt.

So geht es am Beispiel

Welche Seite der Geraden 2x+y=8 ist zulässig?

Teste den Ursprung: $\mathsf{2\cdot0+0=0}$ .

Die Bedingung $\mathsf{0\le8}$ ist wahr.

Zulässig ist die Halbebene, die den Ursprung enthält.

So geht es am Beispiel

Prüfe den Punkt (3|3) im vollständigen Modell.

Verpackung: $\mathsf{3+3=6\le6}$ .

Maschine: $\mathsf{2\cdot3+3=9}$ .

Da $\mathsf{9>8}$ ist, scheitert die Maschinenbedingung.

Erklärung 03

Schnittpunkte berechnen und auswählen

Schnittpunkte von Randgeraden sind nur Kandidaten. Prüfe jeden Kandidaten in allen Nebenbedingungen. Achsenschnittpunkte und der Ursprung können ebenfalls Eckpunkte sein. Für das Werkstattmodell ergeben sich genau die zulässigen Eckpunkte O(0|0), A(4|0), B(2|4), C(1|5) und D(0|5).

Berechne die Kandidaten mit zwei Randgleichungen.
Prüfe auch die übrigen Grenzen.
Ordne nur zulässige Randtreffpunkte als Ecken ein.

Nicht jeder Geradenschnittpunkt ist eine zulässige Ecke.

So geht es am Beispiel

Berechne den Schnittpunkt von x+y=6 und 2x+y=8.

Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten: $\mathsf{x=2}$ .

Setze in die erste ein: $\mathsf{2+y=6}$ .

Subtrahiere zwei: $\mathsf{y=4}$ .

Die zusätzliche Grenze ist erfüllt: $\mathsf{4\le5}$ .

Beide Koordinaten sind nichtnegativ.

So geht es am Beispiel

Berechne den Schnittpunkt von x+y=6 und y=5.

Setze fünf ein: $\mathsf{x+5=6}$ .

Subtrahiere fünf: $\mathsf{x=1}$ .

Maschinenbedarf: $\mathsf{2\cdot1+5=7\le8}$ .

So geht es am Beispiel

Warum ist der Schnittpunkt von 2x+y=8 und y=5 keine Ecke des zulässigen Bereichs?

Einsetzen ergibt $\mathsf{2x+5=8}$ .

Subtrahieren ergibt $\mathsf{2x=3}$ .

Dividieren ergibt $\mathsf{x=1{,}5}$ .

Die Verpackungssumme ist $\mathsf{1{,}5+5=6{,}5}$ .

Das überschreitet die Grenze sechs.

Erklärung 04

Zielfunktionsgerade und Eckpunktvergleich

Für einen festen Zielwert z ist $\mathsf{4x+3y=z}$ eine Gerade. Verschiedene Zielwerte liefern parallele Geraden. Für größere z verschiebt sich die Gerade vom Ursprung weg in Richtung des Vektors (4|3). Im hier betrachteten nichtleeren, abgeschlossenen und beschränkten Polygon nimmt eine lineare Zielfunktion ihr Maximum an mindestens einer Ecke an. Der Vergleich aller Ecken verhindert eine willkürliche Auswahl.

Berechne jeden Eckwert.
Verschiebe die Zielfunktionsgerade parallel.
Wähle die größte zulässige Zielgröße.

Zielwerte aller zulässigen Ecken berechnen.

Werkstatt: optimale Zielfunktionsgerade. Maximum bei B(2 | 4): 20 Euro pro Tag.

Alle zulässigen Ecken vergleichen. O(0 | 0): Z = 0. A(4 | 0): Z = 16. B(2 | 4): Z = 20. C(1 | 5): Z = 19. D(0 | 5): Z = 15. Größter Eckwert: 20 bei B. Jeder Eckwert gehört zur Zielfunktion Z = 4x + 3y.

So geht es am Beispiel

Vergleiche alle Ecken des Werkstattmodells.

Am Ursprung: $\mathsf{Z(0,0)=0}$ .

An A: $\mathsf{Z(4,0)=4\cdot4=16}$ .

An B: $\mathsf{Z(2,4)=4\cdot2+3\cdot4=20}$ .

An C: $\mathsf{Z(1,5)=4\cdot1+3\cdot5=19}$ .

An D: $\mathsf{Z(0,5)=3\cdot5=15}$ .

Der größte dieser Werte ist 20.

So geht es am Beispiel

Bestimme zwei Punkte der Zielfunktionsgeraden zum Wert 12.

Bei y gleich null gilt $\mathsf{4x=12}$ .

Daraus folgt $\mathsf{x=3}$ .

Bei x gleich null gilt $\mathsf{3y=12}$ .

Daraus folgt $\mathsf{y=4}$ .

Erklärung 05

Ergebnis deuten und Ganzzahligkeit beachten

Das Werkstattoptimum (2|4) hat bereits ganze Koordinaten. Es ist daher auch für ganze Stückzahlen optimal. Im Allgemeinen darfst du ein kontinuierliches Optimum nicht einfach aufrunden: Dadurch können Kapazitäten verletzt werden. Für kleine ganzzahlige Aufgaben kann man die wenigen zulässigen ganzzahligen Fälle vollständig vergleichen. Optimierungsmodelle vertieft die Modellbildung; Simplex, duale Verfahren und Big-M werden hier nicht als Algorithmen behandelt.

Prüfe die optimale Lösung in allen Originalbedingungen.
Beachte die geforderte Ganzzahligkeit.
Gib ungenutzte Kapazität mit Einheit an.

Optimale Koordinaten, Zielwert und Ressourcen im Sachkontext angeben.

So geht es am Beispiel

Interpretiere und prüfe das Werkstattoptimum.

Verpackte Menge: $\mathsf{2+4=6}$ Stück.

Maschinenbedarf: $\mathsf{2\cdot2+4=8}$ Stunden.

B-Produktion: $\mathsf{4\le5}$ .

Der Beitrag beträgt $\mathsf{4\cdot2+3\cdot4=20}$ Euro.

So geht es am Beispiel

Die kontinuierliche Lösung x=1,5 und y=2 erfüllt x+y≤3,5. Darf x auf 2 aufgerundet werden?

Nach dem Aufrunden ist $\mathsf{2+2=4}$ .

Vier überschreitet die Grenze 3,5.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Lineare Optimierung · 1Ein Produkt A trägt 5 Euro, B trägt 2 Euro zum Ergebnis bei. x und y sind Stückzahlen pro Tag. Gib die zu maximierende Zielfunktion und die Einheit des Zielwerts an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zielfunktion
Einheit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Beiträge sind 5x und 2y.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Addiere beide Beiträge.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zielfunktion $\mathsf{Z=5x+2y}$
2. EinheitEuro pro Tag
02
Aufgabe 2Lineare Optimierung · 1A benötigt 3 Maschinenstunden pro Stück, B benötigt 2. Pro Tag stehen 18 Stunden bereit. Formuliere die Maschinenbedingung und beide Nichtnegativitätsbedingungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Maschinenbedingung
Bedingung für x
Bedingung für y
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Gesamtbedarf ist 3x+2y.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Er darf 18 Stunden nicht überschreiten.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Negative Stückzahlen sind ausgeschlossen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Maschinenbedingung $\mathsf{3x+2y\le18}$
2. Bedingung für x $\mathsf{x\ge0}$
3. Bedingung für y $\mathsf{y\ge0}$
03
Aufgabe 3Lineare Optimierung · 1Für 2x+y≤10: Bestimme die beiden Achsenschnittpunkte der Randgeraden und entscheide, ob die Halbebene den Ursprung enthält.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schnittpunkt mit x-Achse
Schnittpunkt mit y-Achse
Ursprung in der Halbebene?
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei y gleich null gilt $\mathsf{2x=10}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Daraus folgt x gleich 5.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei x gleich null gilt y gleich 10.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Ursprung erfüllt $\mathsf{0\le10}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Schnittpunkt mit x-Achse(5|0)
2. Schnittpunkt mit y-Achse(0|10)
3. Ursprung in der Halbebene?Ja
04
Aufgabe 4Lineare Optimierung · 2Prüfe P(3|2) unter x+y≤5, 2x+y≤7 und x,y≥0. Gib die beiden linken Seiten und die Zulässigkeitsentscheidung mit Begründung an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wert von x plus y
Wert von 2x plus y
Zulässig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste linke Seite: $\mathsf{3+2=5}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweite linke Seite: $\mathsf{2\cdot3+2=8}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Acht überschreitet sieben.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wert von x plus y5
2. Wert von 2x plus y8
3. Zulässig?Nein
4. BegründungDie zweite Kapazitätsbedingung ist verletzt, obwohl die erste und die Nichtnegativität erfüllt sind.
05
Aufgabe 5Lineare Optimierung · 2Berechne den Schnittpunkt von x+y=7 und 2x+y=10. Prüfe anschließend die Zusatzbedingungen y≤5 und x,y≥0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
x-Koordinate
y-Koordinate
Zusatzbedingungen erfüllt?
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten: x gleich 3.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Setze ein: $\mathsf{3+y=7}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Daraus folgt y gleich 4.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Vier ist höchstens fünf, beide Koordinaten sind nichtnegativ.
Ergebnisse & Teilantworten
1. x-Koordinate3
2. y-Koordinate4
3. Zusatzbedingungen erfüllt?Ja
06
Aufgabe 6Lineare Optimierung · 2Ein zulässiges Polygon besitzt genau die Ecken O(0|0), A(3|0), B(3|2), C(0|4). Berechne für jede Ecke Z=2x+5y und nenne die optimale Ecke und den Maximalwert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Z an O
Z an A
Z an B
Z an C
Optimale Ecke
Maximalwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  An O: Z gleich 0.
2. Schritt 2 · Erklärung
  An A: $\mathsf{2\cdot3=6}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  An B: $\mathsf{2\cdot3+5\cdot2=16}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  An C: $\mathsf{5\cdot4=20}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Der größte Wert ist 20.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Z an O0
2. Z an A6
3. Z an B16
4. Z an C20
5. Optimale EckeC(0|4)
6. Maximalwert20
07
Aufgabe 7Lineare Optimierung · 2Bestimme die beiden Achsenschnittpunkte der Zielfunktionsgeraden 2x+3y=12. Welche Gerade gehört zum höheren Zielwert: 2x+3y=12 oder 2x+3y=15?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schnittpunkt mit x-Achse
Schnittpunkt mit y-Achse
Gerade des höheren Zielwerts
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei y gleich null: $\mathsf{2x=12}$ , also x gleich 6.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei x gleich null: $\mathsf{3y=12}$ , also y gleich 4.
3. Schritt 3 · Erklärung
  15 ist größer als 12.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Schnittpunkt mit x-Achse(6|0)
2. Schnittpunkt mit y-Achse(0|4)
3. Gerade des höheren Zielwerts $\mathsf{2x+3y=15}$
08
Aufgabe 8Lineare Optimierung · 3Nutze die Koordinatenvorlage: Markiere den gemeinsamen Bereich x+y≤5, x≤3, y≤4, x,y≥0. Beschrifte alle Ecken. Maximiere Z=2x+3y, indem du alle Eckwerte berechnest. Gib optimalen x-Wert, y-Wert und Zielwert getrennt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Alle Ecken
Z an O
Z an A
Z an B
Z an C
Z an D
Optimaler x-Wert
Optimaler y-Wert
Maximalwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die erlaubten Seiten liegen unter x+y=5, links von x=3, unter y=4 und im ersten Quadranten.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Ecke am Ursprung ist O(0|0).
3. Schritt 3 · Erklärung
  Auf der x-Achse begrenzt x=3: A(3|0).
4. Schritt 4 · Erklärung
  Mit x=3 folgt aus x+y=5 die Ecke B(3|2).
5. Schritt 5 · Erklärung
  Mit y=4 folgt aus x+y=5 die Ecke C(1|4).
6. Schritt 6 · Erklärung
  Auf der y-Achse endet der Bereich bei D(0|4).
7. Schritt 7 · Erklärung
  Z an O ist 0.
8. Schritt 8 · Erklärung
  Z an A ist $\mathsf{2\cdot3=6}$ .
9. Schritt 9 · Erklärung
  Z an B ist $\mathsf{2\cdot3+3\cdot2=12}$ .
10. Schritt 10 · Erklärung
  Z an C ist $\mathsf{2\cdot1+3\cdot4=14}$ .
11. Schritt 11 · Erklärung
  Z an D ist $\mathsf{3\cdot4=12}$ .
12. Schritt 12 · Erklärung
  Der größte Eckwert ist 14 bei C.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Alle EckenO(0|0), A(3|0), B(3|2), C(1|4), D(0|4)
2. Z an O0
3. Z an A6
4. Z an B12
5. Z an C14
6. Z an D12
7. Optimaler x-Wert1
8. Optimaler y-Wert4
9. Maximalwert14
09
Aufgabe 9Lineare Optimierung · 3Ganze Stückzahlen x,y≥0 erfüllen x≤3, y≤3 und x+y≤4,5. Maximiere Z=3x+2y. Die kontinuierliche Lösung wäre (3|1,5) mit Z=12. Prüfe das Aufrunden auf (3|2). Bestimme dann das ganzzahlige Optimum, indem du für x=0,1,2,3 jeweils das größte zulässige ganze y und seinen Zielwert vergleichst.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Aufgerundetes Paar zulässig?
Bestes y bei x gleich 0
Z bei x gleich 0
Bestes y bei x gleich 1
Z bei x gleich 1
Bestes y bei x gleich 2
Z bei x gleich 2
Bestes y bei x gleich 3
Z bei x gleich 3
Optimaler ganzzahliger x-Wert
Optimaler ganzzahliger y-Wert
Ganzzahliger Maximalwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Aufgerundet ergibt sich $\mathsf{3+2=5>4{,}5}$ : unzulässig.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei x gleich 0 ist y höchstens 3: Z gleich 6.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei x gleich 1 ist y höchstens 3: Z gleich 9.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Bei x gleich 2 ist y höchstens 2: Z gleich 10.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Bei x gleich 3 ist y höchstens 1: Z gleich 11.
6. Schritt 6 · Erklärung
  Weil der Koeffizient von y positiv ist, ist für jedes feste x das größte zulässige y am besten.
7. Schritt 7 · Erklärung
  Alle möglichen ganzen x-Werte wurden erfasst; 11 ist der größte Zielwert.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Aufgerundetes Paar zulässig?Nein
2. Bestes y bei x gleich 03
3. Z bei x gleich 06
4. Bestes y bei x gleich 13
5. Z bei x gleich 19
6. Bestes y bei x gleich 22
7. Z bei x gleich 210
8. Bestes y bei x gleich 31
9. Z bei x gleich 311
10. Optimaler ganzzahliger x-Wert3
11. Optimaler ganzzahliger y-Wert1
12. Ganzzahliger Maximalwert11

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich definiere Variablen und Einheiten.
Ich schneide alle erlaubten Halbebenen.
Ich prüfe Schnittpunkte auf Zulässigkeit.
Ich vergleiche alle Ecken.
Ich prüfe Ganzzahligkeit ohne blindes Runden.

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