Vektoren · Erklären & üben

Mittelpunkt einer Strecke berechnen

Der Mittelpunkt teilt eine Strecke in zwei gleich lange Teilstrecken. Seine Koordinaten sind die Mittelwerte der Endpunktkoordinaten, in der Ebene ebenso wie im Raum.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Koordinaten mitteln

Für $\mathsf{A(a_1|a_2)}$ und $\mathsf{B(b_1|b_2)}$ gilt $\mathsf{M(\frac{a_1+b_1}{2}|\frac{a_2+b_2}{2})}$ . Im Raum wird zusätzlich die dritte Koordinate genauso gemittelt.

Addiere zuerst die beiden passenden Koordinaten und teile die Summe durch 2. Negative Koordinaten behalten ihr Vorzeichen.

Exakte Koordinatenskizze mit A(2|-1), M(5|2) und B(8|5); gleiche Teilvektoren.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Mittelpunkt von $\mathsf{A(2|-1)}$ und $\mathsf{B(8|5)}$ .

$\mathsf{\vec m=\frac12(\vec a+\vec b)}$ — die Ortsvektoren mitteln.

$\mathsf{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}}$ — komponentenweise addieren.

$\mathsf{\vec m=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}$ — jede Komponente durch 2 teilen.

$\mathsf{\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$ — A vom Mittelpunkt abziehen.

$\mathsf{\overrightarrow{MB}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$ — Mittelpunkt von B abziehen; beide Teilvektoren stimmen überein.

Erklärung 02

Halbe Summe der Ortsvektoren

Die Ortsvektoren der Endpunkte heißen $\mathsf{\vec a}$ und $\mathsf{\vec b}$ . Zum Mittelpunkt gelangst du von A aus auf der halben Strecke nach B.

$\mathsf{\vec m=\vec a+\frac12(\vec b-\vec a)}$ — halben Verbindungsvektor an A antragen.

$\mathsf{\vec m=\vec a+\frac12\vec b-\frac12\vec a}$ — ausmultiplizieren.

$\mathsf{\vec m=\frac12\vec a+\frac12\vec b}$ — gleiche Vektoren zusammenfassen.

Die beiden Gewichte sind jeweils ein Halb. Sie sind nichtnegativ und ergeben zusammen 1; der Mittelpunkt liegt auf der Strecke.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Mittelpunkt von $\mathsf{A(-2|4|1)}$ und $\mathsf{B(6|0|7)}$ mithilfe der Ortsvektoren.

$\mathsf{\vec m=\frac12(\vec a+\vec b)}$ — die Ortsvektoren mitteln.

$\mathsf{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}4\\4\\8\end{pmatrix}}$ — komponentenweise addieren.

$\mathsf{\vec m=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}}$ — jede Komponente durch 2 teilen.

$\mathsf{\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}4\\-2\\3\end{pmatrix}}$ — A vom Mittelpunkt abziehen.

$\mathsf{\overrightarrow{MB}=\begin{pmatrix}4\\-2\\3\end{pmatrix}}$ — Mittelpunkt von B abziehen; beide Teilvektoren stimmen überein.

So geht es am Beispiel

Gegeben sind $\mathsf{A(1|2)}$ und $\mathsf{M(4|-1)}$ . Bestimme B.

$\mathsf{\vec m=\frac12(\vec a+\vec b)}$ — Mittelpunktformel.

$\mathsf{2\vec m=\vec a+\vec b}$ — mit 2 multiplizieren.

$\mathsf{\vec b=2\vec m-\vec a}$ — a abziehen.

$\mathsf{2\vec m=\begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}}$ — den Mittelpunktvektor verdoppeln.

$\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}}$ — den Ortsvektor von A abziehen.

$\mathsf{\frac12(1+7)=4}$ — erste Koordinate prüfen.

$\mathsf{\frac12(2-4)=-1}$ — zweite Koordinate prüfen.

Erklärung 03

Weiterführende Anwendungen

Linearkombinationen mit anderen Gewichten werden im eigenen Thema erklärt. Flächeninhalte von Dreiecken benötigen zusätzlich etwa Grundseite und Höhe oder das Kreuzprodukt; das ist ein eigenes weiterführendes Thema.

Zum Prüfen einer Mittelpunktrechnung kannst du die beiden Teilvektoren vergleichen. Eine bloße Skizze ersetzt bei ungenauen Koordinaten keine Rechnung.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Mittelpunkt einer Strecke berechnen · GrundlagenBestimme den Mittelpunkt von $\mathsf{A(0|2)}$ und $\mathsf{B(6|8)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\frac12(\vec a+\vec b)}$ — die Ortsvektoren mitteln.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}6\\10\end{pmatrix}}$ — komponentenweise addieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}$ — jede Komponente durch 2 teilen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$ — A vom Mittelpunkt abziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{MB}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$ — Mittelpunkt von B abziehen; beide Teilvektoren stimmen überein.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{M(3|5)}$
02
Aufgabe 2Mittelpunkt einer Strecke berechnen · GrundlagenBestimme den Mittelpunkt von $\mathsf{A(-4|3)}$ und $\mathsf{B(2|-1)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\frac12(\vec a+\vec b)}$ — die Ortsvektoren mitteln.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}}$ — komponentenweise addieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ — jede Komponente durch 2 teilen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$ — A vom Mittelpunkt abziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{MB}=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$ — Mittelpunkt von B abziehen; beide Teilvektoren stimmen überein.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{M(-1|1)}$
03
Aufgabe 3Mittelpunkt einer Strecke berechnen · GrundlagenBestimme den Mittelpunkt von $\mathsf{A(1|-2)}$ und $\mathsf{B(4|5)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\frac12(\vec a+\vec b)}$ — die Ortsvektoren mitteln.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}$ — komponentenweise addieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\begin{pmatrix}\frac{5}{2}\\\frac{3}{2}\end{pmatrix}}$ — jede Komponente durch 2 teilen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\\frac{7}{2}\end{pmatrix}}$ — A vom Mittelpunkt abziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{MB}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\\frac{7}{2}\end{pmatrix}}$ — Mittelpunkt von B abziehen; beide Teilvektoren stimmen überein.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{M(\frac{5}{2}|\frac{3}{2})}$
04
Aufgabe 4Mittelpunkt einer Strecke berechnen · AnwendenBestimme den Mittelpunkt von $\mathsf{A(2|0|-4)}$ und $\mathsf{B(8|6|2)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\frac12(\vec a+\vec b)}$ — die Ortsvektoren mitteln.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}10\\6\\-2\end{pmatrix}}$ — komponentenweise addieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\begin{pmatrix}5\\3\\-1\end{pmatrix}}$ — jede Komponente durch 2 teilen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}}$ — A vom Mittelpunkt abziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{MB}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}}$ — Mittelpunkt von B abziehen; beide Teilvektoren stimmen überein.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{M(5|3|-1)}$
05
Aufgabe 5Mittelpunkt einer Strecke berechnen · AnwendenBestimme den Mittelpunkt von $\mathsf{A(-3|5|1)}$ und $\mathsf{B(7|-1|9)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\frac12(\vec a+\vec b)}$ — die Ortsvektoren mitteln.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}4\\4\\10\end{pmatrix}}$ — komponentenweise addieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}$ — jede Komponente durch 2 teilen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}}$ — A vom Mittelpunkt abziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{MB}=\begin{pmatrix}5\\-3\\4\end{pmatrix}}$ — Mittelpunkt von B abziehen; beide Teilvektoren stimmen überein.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{M(2|2|5)}$
06
Aufgabe 6Mittelpunkt einer Strecke berechnen · AnwendenBestimme den Mittelpunkt von $\mathsf{A(4|-2)}$ und $\mathsf{B(4|-2)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\frac12(\vec a+\vec b)}$ — die Ortsvektoren mitteln.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}8\\-4\end{pmatrix}}$ — komponentenweise addieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}$ — jede Komponente durch 2 teilen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AM}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ — A vom Mittelpunkt abziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{MB}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ — Mittelpunkt von B abziehen; beide Teilvektoren stimmen überein.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{M(4|-2)}$
07
Aufgabe 7Mittelpunkt einer Strecke berechnen · AnwendenGegeben sind $\mathsf{A(2|1)}$ und der Mittelpunkt $\mathsf{M(5|3)}$ . Bestimme B.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\vec m=\vec a+\vec b}$ — Mittelpunktformel mit 2 multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec b=2\vec m-\vec a}$ — a abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\vec m=\begin{pmatrix}10\\6\end{pmatrix}}$ — verdoppeln.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}}$ — komponentenweise abziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac12(\vec a+\vec b)=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}$ — durch Rückeinsetzen prüfen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{B(8|5)}$
08
Aufgabe 8Mittelpunkt einer Strecke berechnen · VertiefenGegeben sind $\mathsf{A(-2|4|1)}$ und der Mittelpunkt $\mathsf{M(1|0|3)}$ . Bestimme B.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\vec m=\vec a+\vec b}$ — Mittelpunktformel mit 2 multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec b=2\vec m-\vec a}$ — a abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\vec m=\begin{pmatrix}2\\0\\6\end{pmatrix}}$ — verdoppeln.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}4\\-4\\5\end{pmatrix}}$ — komponentenweise abziehen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac12(\vec a+\vec b)=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}}$ — durch Rückeinsetzen prüfen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{B(4|-4|5)}$
09
Aufgabe 9Mittelpunkt einer Strecke berechnen · VertiefenFür $\mathsf{A(2|4)}$ und $\mathsf{B(8|10)}$ nennt jemand $\mathsf{M(6|6)}$ , weil er B minus A rechnet. Erkläre den Fehler und bestimme den richtigen Mittelpunkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler erklären
Richtiger Mittelpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  B minus A liefert den Verbindungsvektor, nicht den Mittelpunkt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}10\\14\end{pmatrix}}$ — Ortsvektoren addieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}$ — durch 2 teilen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fehler erklärenEs wurde der Verbindungsvektor statt der halben Summe der Ortsvektoren berechnet.
2. Richtiger Mittelpunkt $\mathsf{M(5|7)}$
10
Aufgabe 10Mittelpunkt einer Strecke berechnen · VertiefenEin Parallelogramm hat gegenüberliegende Eckpunkte $\mathsf{A(0|0)}$ und $\mathsf{C(6|4)}$ . Der dritte Eckpunkt ist $\mathsf{B(5|0)}$ . Bestimme zuerst den gemeinsamen Mittelpunkt der Diagonalen und dann den vierten Eckpunkt D.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Diagonalenmittelpunkt
Vierter Eckpunkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec m=\frac12(\vec a+\vec c)=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$ — Diagonale AC mitteln.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\vec m=\vec b+\vec d}$ — auch BD hat denselben Mittelpunkt.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec d=2\vec m-\vec b}$ — b abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2\vec m=\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}}$ — verdoppeln.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec d=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$ — b abziehen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac12(\vec b+\vec d)=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$ — Mittelpunkt prüfen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Diagonalenmittelpunkt $\mathsf{M(3|2)}$
2. Vierter Eckpunkt $\mathsf{D(1|4)}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Punkte, Vektoren und ihre Gewichte.
Ich rechne komponentenweise und prüfe alle Bedingungen.
Ich begründe meine Einordnung mit einer Rechnung.

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