Gleichungen lösen · Erklären & üben

Lösungsmenge

Die Lösungsmenge $\mathsf{L}$ enthält genau die erlaubten Werte, für die eine Gleichung wahr ist. Erlaubt sind nur Werte aus der Definitionsmenge $\mathsf{D}$ .

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Lösungen sammeln

Prüfe zunächst die Definitionsmenge. Löse dann die Gleichung und streiche alle Werte, die nicht erlaubt sind. In einer Menge ist die Reihenfolge egal. Jeder Wert steht nur einmal.

$\mathsf{L\subseteq D}$

Lösung 4 als Teilmenge der endlichen Definitionsmenge; minus 4 bleibt außerhalb.

So geht es am Beispiel

Bestimme $\mathsf{L}$ für $\mathsf{x^2=16}$ mit $\mathsf{D=\mathbb{R}}$ .

$\mathsf{x=4}$ oder $\mathsf{x=-4}$ — beide Zahlen haben das Quadrat 16.

$\mathsf{4\in D}$ und $\mathsf{-4\in D}$ — beide sind erlaubt.

So geht es am Beispiel

Bestimme $\mathsf{L}$ für $\mathsf{x^2=16}$ mit $\mathsf{D=\{0,1,2,3,4,5\}}$ .

$\mathsf{x=\pm4}$ — mögliche reelle Lösungen bestimmen.

$\mathsf{-4\notin D}$ — diesen Wert ausschließen.

$\mathsf{4\in D}$ — diesen Wert behalten.

Erklärung 02

Keine, einige oder alle

Eine widersprüchliche Gleichung hat keine Lösung: $\mathsf{L=\varnothing}$ . Das ist nicht dasselbe wie $\mathsf{L=\{0\}}$ .

Eine teilgültige Gleichung gilt nur für einen Teil der Definitionsmenge. Eine allgemeingültige Gleichung gilt für alle erlaubten Werte: $\mathsf{L=D}$ .

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2(x+3)=2x+6}$ mit $\mathsf{D=\mathbb{R}}$ .

$\mathsf{2x+6=2x+6}$ — ausmultiplizieren.

$\mathsf{6=6}$ — auf beiden Seiten 2x abziehen.

Die Aussage ist für jedes erlaubte x wahr.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{3x+2=3x+7}$ mit $\mathsf{D=\mathbb{R}}$ .

$\mathsf{2=7}$ — auf beiden Seiten 3x abziehen.

Die Aussage ist falsch, unabhängig von x.

Erklärung 03

Definitionsmenge beachten

Bei Brüchen darf ein Nenner nicht null werden. Auch nach dem Kürzen bleibt ein ursprünglich verbotener Wert ausgeschlossen.

Das Umformen selbst übst du im Thema „Gleichungen lösen“ dieses Blocks. Hier steht die vollständige Angabe der erlaubten Lösungen im Mittelpunkt.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{\frac{x-2}{x-2}=1}$ über den reellen Zahlen.

$\mathsf{D=\mathbb{R}\setminus\{2\}}$ — der Nenner darf nicht null sein.

$\mathsf{1=1}$ für alle $\mathsf{x\in D}$ — kürzen ist nur dort erlaubt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Lösungsmenge · GrundlagenBestimme $\mathsf{L}$ für $\mathsf{x+7=10}$ mit $\mathsf{D=\mathbb{R}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — 7 abziehen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{3\}}$
02
Aufgabe 2Lösungsmenge · GrundlagenBestimme $\mathsf{L}$ für $\mathsf{5x=0}$ mit $\mathsf{D=\mathbb{R}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0}$ — durch 5 teilen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{0\}}$
03
Aufgabe 3Lösungsmenge · GrundlagenBestimme $\mathsf{L}$ für $\mathsf{x^2=9}$ mit $\mathsf{D=\{-4,-3,-2,0,2,3,4\}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\pm3}$ — Wurzel ziehen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Werte gehören zur Definitionsmenge.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-3,3\}}$
04
Aufgabe 4Lösungsmenge · AnwendenBestimme $\mathsf{L}$ für $\mathsf{2x=1}$ mit $\mathsf{D=\mathbb{Z}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac12}$ — durch 2 teilen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\frac12\notin\mathbb{Z}}$ — kein erlaubter Wert.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\varnothing}$
05
Aufgabe 5Lösungsmenge · AnwendenBestimme $\mathsf{L}$ für $\mathsf{4x-1=4x+8}$ mit $\mathsf{D=\mathbb{R}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{-1=8}$ — 4x abziehen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Diese Aussage ist falsch.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\varnothing}$
06
Aufgabe 6Lösungsmenge · AnwendenBestimme $\mathsf{L}$ für $\mathsf{3(x-2)=3x-6}$ mit $\mathsf{D=\{-1,0,1,2\}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x-6=3x-6}$ — ausmultiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Jeder Wert aus D erfüllt die Gleichung.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-1,0,1,2\}=D}$
07
Aufgabe 7Lösungsmenge · AnwendenBestimme $\mathsf{D}$ und $\mathsf{L}$ für $\mathsf{\frac{1}{x-3}=2}$ über den reellen Zahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsmenge
Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=\mathbb{R}\setminus\{3\}}$ — Nenner prüfen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1=2(x-3)}$ — mit dem erlaubten Nenner multiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1=2x-6}$ — ausmultiplizieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{7=2x}$ — auf beiden Seiten 6 addieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac72}$ — beide Seiten durch 2 teilen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb{R}\setminus\{3\}}$
2. Lösungsmenge $\mathsf{L=\{\frac72\}}$
08
Aufgabe 8Lösungsmenge · VertiefenBestimme $\mathsf{D}$ und $\mathsf{L}$ für $\mathsf{\frac{x+1}{x+1}=1}$ über den reellen Zahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Definitionsmenge
Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}}$ — Nenner darf nicht null sein.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1=1}$ — für alle erlaubten Werte kürzen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}}$
2. Lösungsmenge $\mathsf{L=\mathbb{R}\setminus\{-1\}}$
09
Aufgabe 9Lösungsmenge · VertiefenErkläre den Unterschied zwischen $\mathsf{L=\varnothing}$ und $\mathsf{L=\{0\}}$ . Gib für jede Menge eine Gleichung über $\mathsf{\mathbb{R}}$ an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Unterschied
Beispiel für eine leere Lösungsmenge
Beispiel mit der einzigen Lösung 0
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die leere Menge enthält keinen Wert. Die zweite Menge enthält genau den Wert null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UnterschiedDie leere Menge enthält keinen Wert. Die Menge $\mathsf{\{0\}}$ enthält genau die Zahl null.
2. Beispiel für eine leere LösungsmengeZum Beispiel $\mathsf{x=x+1}$ .
3. Beispiel mit der einzigen Lösung 0Zum Beispiel $\mathsf{x=0}$ .

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann die Grenzen und Voraussetzungen der Regel erklären.
Ich kann meine Ergebnisse durch Einsetzen oder Prüfen der Randwerte kontrollieren.

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