Gleichungen lösen · Erklären & üben

Satz vom Nullprodukt

Ein Produkt reeller Zahlen ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Das hilft dir, Gleichungen und Nullstellen zu bestimmen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Erst ein Produkt mit null

Prüfe zuerst die rechte Seite. Nur für ein Produkt gleich null darfst du jeden Faktor einzeln null setzen. „Mindestens einer“ schließt ein, dass mehrere Faktoren null sind.

Bei einer Summe gilt diese Regel nicht: $\mathsf{3+(-3)=0}$ , obwohl keiner der Summanden null ist.

$\mathsf{a\cdot b=0\iff a=0\ \textsf{oder}\ b=0}$

Verzweigung des Produkts in zwei lineare Gleichungen, verbunden durch oder.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{(x-6)(x+2)=0}$ .

$\mathsf{x-6=0}$ oder $\mathsf{x+2=0}$ — mindestens ein Faktor ist null.

$\mathsf{x=6}$ — zur ersten Gleichung 6 addieren.

$\mathsf{x=-2}$ — von der zweiten Gleichung 2 abziehen.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{x^2=5x}$ .

$\mathsf{x^2-5x=0}$ — beide Seiten um 5x vermindern.

$\mathsf{x(x-5)=0}$ — x ausklammern.

$\mathsf{x=0}$ oder $\mathsf{x-5=0}$ — Nullprodukt anwenden.

$\mathsf{x=5}$ — zur zweiten Gleichung 5 addieren.

Erklärung 02

Nullstellen und wiederholte Faktoren

Für eine Nullstelle setzt du den Funktionsterm gleich null. Ein wiederholter Faktor liefert denselben Wert mehrfach, aber die Lösungsmenge nennt jeden Wert nur einmal.

Die Suche nach einer passenden Faktorzerlegung führt später zum Satz von Vieta im Folgeblock „Lösung quadr. Gleichung“.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Nullstellen von $\mathsf{f(x)=(x-1)^2(x+3)}$ .

$\mathsf{(x-1)^2(x+3)=0}$ — Funktionswert null setzen.

$\mathsf{x-1=0}$ oder $\mathsf{x+3=0}$ — Faktoren untersuchen.

$\mathsf{x=1}$ — zur ersten Gleichung 1 addieren.

$\mathsf{x=-3}$ — von der zweiten Gleichung 3 abziehen.

Erklärung 03

Optional: mehr Faktoren

Der Satz gilt auch für mehr als zwei Faktoren. Im folgenden Beispiel ist die Faktorzerlegung bereits gegeben. Das ist kein allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungen fünften Grades.

Allgemeine biquadratische Gleichungen behandelst du später im Thema „Biquadratische Gleichungen“ mit einer passenden Substitution. Produkte mit einem Exponentialfaktor folgen bei den Exponentialgleichungen: Dafür musst du zuerst wissen, welche Werte die Exponentialfunktion annehmen kann.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{x(x^2-1)(x^2-4)=0}$ über den reellen Zahlen.

$\mathsf{x=0}$ oder $\mathsf{x^2-1=0}$ oder $\mathsf{x^2-4=0}$ — mindestens einer der drei Faktoren ist null.

$\mathsf{x^2=1}$ — zur zweiten Gleichung 1 addieren.

$\mathsf{x=-1}$ oder $\mathsf{x=1}$ — beide Wurzelvorzeichen berücksichtigen.

$\mathsf{x^2=4}$ — zur dritten Gleichung 4 addieren.

$\mathsf{x=-2}$ oder $\mathsf{x=2}$ — beide Wurzelvorzeichen berücksichtigen.

Jeder gefundene Wert setzt mindestens einen Faktor null. Weitere Lösungen sind nach dem Satz vom Nullprodukt ausgeschlossen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Satz vom Nullprodukt · GrundlagenLöse $\mathsf{(x-3)(x+7)=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-3=0}$ oder $\mathsf{x+7=0}$ — Faktoren null setzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — zur ersten Gleichung 3 addieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-7}$ — von der zweiten Gleichung 7 abziehen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-7,3\}}$
02
Aufgabe 2Satz vom Nullprodukt · GrundlagenLöse $\mathsf{x(x-9)=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0}$ oder $\mathsf{x-9=0}$ — Nullprodukt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=9}$ — zur zweiten Gleichung 9 addieren. Die erste Lösung ist null.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{0,9\}}$
03
Aufgabe 3Satz vom Nullprodukt · GrundlagenLöse $\mathsf{(2x-8)(x+1)=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x-8=0}$ oder $\mathsf{x+1=0}$ — Faktoren null setzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x=8}$ — erste Gleichung umstellen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=4}$ — die erste Gleichung durch 2 teilen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-1}$ — von der zweiten Gleichung 1 abziehen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-1,4\}}$
04
Aufgabe 4Satz vom Nullprodukt · AnwendenLöse $\mathsf{4x^2-12x=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4x(x-3)=0}$ — ausklammern.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0}$ oder $\mathsf{x-3=0}$ — Nullprodukt anwenden. Der Faktor 4 ist ungleich null.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — zur zweiten Gleichung 3 addieren.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{0,3\}}$
05
Aufgabe 5Satz vom Nullprodukt · AnwendenLöse $\mathsf{x^2+2x=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x(x+2)=0}$ — ausklammern.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0}$ oder $\mathsf{x+2=0}$ — Nullprodukt anwenden.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-2}$ — von der zweiten Gleichung 2 abziehen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-2,0\}}$
06
Aufgabe 6Satz vom Nullprodukt · AnwendenLöse $\mathsf{(x+4)^2=0}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+4=0}$ — beide Faktoren sind gleich.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-4}$ — auf beiden Seiten 4 abziehen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-4\}}$
07
Aufgabe 7Satz vom Nullprodukt · AnwendenBestimme alle Nullstellen von $\mathsf{f(x)=2(x-5)(x+3)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2(x-5)(x+3)=0}$ — Funktionswert null setzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-5=0}$ oder $\mathsf{x+3=0}$ — der Faktor 2 ist ungleich null.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=5}$ — zur ersten Gleichung 5 addieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-3}$ — von der zweiten Gleichung 3 abziehen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{x=-3}$ und $\mathsf{x=5}$
08
Aufgabe 8Satz vom Nullprodukt · VertiefenBestimme alle Nullstellen von $\mathsf{g(x)=x(x-2)(x+6)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x(x-2)(x+6)=0}$ — Funktionswert null setzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0}$ oder $\mathsf{x-2=0}$ oder $\mathsf{x+6=0}$ — drei Faktoren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2}$ — zur zweiten Gleichung 2 addieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-6}$ — von der dritten Gleichung 6 abziehen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{x=-6}$ , $\mathsf{x=0}$ und $\mathsf{x=2}$
09
Aufgabe 9Satz vom Nullprodukt · VertiefenJemand setzt bei $\mathsf{(x-2)+(x+4)=0}$ beide Klammern einzeln null. Erkläre den Fehler und löse die Gleichung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler erklären
Gleichung lösen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Hier steht eine Summe, kein Produkt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x+2=0}$ — zusammenfassen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2x=-2}$ — 2 abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-1}$ — beide Seiten durch 2 teilen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fehler erklärenDer Satz vom Nullprodukt gilt für Produkte gleich null. Hier steht eine Summe.
2. Gleichung lösen $\mathsf{L=\{-1\}}$
10
Aufgabe 10Satz vom Nullprodukt · VertiefenLöse $\mathsf{(x-1)(x+1)=8}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-1=8}$ — ausmultiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=9}$ — 1 addieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\pm3}$ — Wurzel ziehen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{L=\{-3,3\}}$ . Direktes Nullsetzen der Faktoren wäre hier falsch.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann die Grenzen und Voraussetzungen der Regel erklären.
Ich kann meine Ergebnisse durch Einsetzen oder Prüfen der Randwerte kontrollieren.

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