Magisches Quadrat

Erklärung 01

Was muss gleich sein?

1. 1

   Zeilen addieren.

2. 2

   Spalten addieren.

3. 3

   Beide Hauptdiagonalen addieren.

4. 4

   Bei einem normalen Quadrat zusätzlich alle Zahlen und Wiederholungen prüfen.

Nur gleiche Zeilensummen reichen nicht.

So geht es am Beispiel

Prüfe das normale $\mathsf{3\times 3}$-Quadrat L.

Prüfe die drei Zeilen.

$$\mathsf{8+1+6=15}$$

$$\mathsf{3+5+7=15}$$

$$\mathsf{4+9+2=15}$$

Prüfe die drei Spalten.

$$\mathsf{8+3+4=15}$$

$$\mathsf{1+5+9=15}$$

$$\mathsf{6+7+2=15}$$

Prüfe beide Hauptdiagonalen.

$$\mathsf{8+5+2=15}$$

$$\mathsf{6+5+4=15}$$

Die Zahlen von 1 bis 9 kommen jeweils genau einmal vor. Das Quadrat ist normal und magisch.

Erklärung 02

Die magische Summe

1. 1

   Ordnung $\mathsf{n}$ als Anzahl der Zeilen bestimmen.

2. 2

   Gesamtsumme der Zahlen ermitteln.

3. 3

   Durch $\mathsf{n}$ teilen.

Normal: $\mathsf{M=\frac{n(n^2+1)}{2}}$.

Erklärung 03

Vertiefung: ungerade Ordnung

1. 1

   Für $\mathsf{n=3}$: 1 nach (Z1,S2).

2. 2

   2 nach (Z3,S3), 3 nach (Z2,S1).

3. 3

   Das Ziel von 4 wäre belegt: 4 kommt nach (Z3,S1).

4. 4

   Weiter: 5 nach (Z2,S2), 6 nach (Z1,S3), 7 nach (Z2,S3), 8 nach (Z1,S1), 9 nach (Z3,S2).

Bei belegtem Ziel: vom letzten Feld einen Schritt nach unten.

Erklärung 04

Vertiefung: durch vier teilbare Ordnung

1. 1

   Zeilenweise füllen.

2. 2

   Diagonalfelder in jedem $\mathsf{4\times 4}$-Block markieren.

3. 3

   Nur markierte Zahlen durch das Komplement ersetzen.

4. 4

   Alle Summen prüfen.

Komplementpaare addieren sich zu $\mathsf{n^2+1}$.

Erklärung 05

Vertiefung: gerade, aber nicht durch vier teilbar

1. 1

   Quadranten aus demselben L bilden.

2. 2

   Die drei markierten Paare tauschen.

3. 3

   6 Zeilen, 6 Spalten und 2 Hauptdiagonalen prüfen.

Gerade Ordnung: zuerst durch vier teilbar oder Rest zwei unterscheiden.

1. 01
   Aufgabe 1Magisches Quadrat · ÜbungPrüfe alle Zeilen, Spalten und beide Hauptdiagonalen des Quadrats. Entscheide, ob es normal und magisch ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   Gegebene Werte

   Zeile	Sp. 1	Sp. 2	Sp. 3
   1	6	1	8
   2	7	5	3
   3	2	9	4

   

   Zeile 1

   Zeile 2

   Zeile 3

   Spalte 1

   Spalte 2

   Spalte 3

   Diagonale links oben

   Diagonale rechts oben

   Urteil
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Alle drei Zeilen ergeben jeweils 15. Auch alle drei Spalten ergeben jeweils 15. Prüfe zusätzlich die beiden Hauptdiagonalen.

      $$\mathsf{6+5+4=15}$$

      $$\mathsf{8+5+2=15}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Zahlen von 1 bis 9 kommen jeweils einmal vor. Das Quadrat ist normal und magisch.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Zeile 1
      15
   2. Zeile 2
      15
   3. Zeile 3
      15
   4. Spalte 1
      15
   5. Spalte 2
      15
   6. Spalte 3
      15
   7. Diagonale links oben
      15
   8. Diagonale rechts oben
      15
   9. Urteil
      Normal und magisch.
2. 02
   Aufgabe 2Magisches Quadrat · ÜbungErgänze die vier leeren Felder. Verwende 1 bis 9 jeweils einmal; $\mathsf{M=15}$.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   Gegebene Werte

   Zeile	Sp. 1	Sp. 2	Sp. 3
   1	8		6
   2		5
   3	4		2

   

   Z1S2

   Z2S1

   Z2S3

   Z3S2
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Zeile 1: Ziehe die bekannten Zahlen von 15 ab.

      $$\mathsf{15-8-6=1}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Zeile 3: Berechne das mittlere Feld.

      $$\mathsf{15-4-2=9}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Spalte 1: Berechne das Feld in Zeile 2.

      $$\mathsf{15-8-4=3}$$
   4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg

      Spalte 3: Berechne das Feld in Zeile 2.

      $$\mathsf{15-6-2=7}$$

   Beispielzeichnung

   

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Z1S2
      1
   2. Z2S1
      3
   3. Z2S3
      7
   4. Z3S2
      9
3. 03
   Aufgabe 3Magisches Quadrat · ÜbungIn einem normalen $\mathsf{3\times 3}$-Quadrat steht in einer Zeile 2, 7, x. Berechne zuerst M und dann x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   Größe n

   3

   Zeile

   • 2
   • 7
   • $\mathsf{x}$

   $\mathsf{M}$

   $\mathsf{x}$
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Berechne die magische Summe des normalen Quadrats der Ordnung 3.

      $$\mathsf{M=\frac{3\cdot(3^2+1)}2=\frac{3\cdot10}2=15}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Ziehe die beiden bekannten Zahlen der Zeile ab.

      $$\mathsf{x=15-2-7=6}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. $\mathsf{M}$
      15
   2. $\mathsf{x}$
      6
4. 04
   Aufgabe 4Magisches Quadrat · ÜbungDas Quadrat hat in jeder Zeile Summe 15. Reicht das? Prüfe die erste Spalte und beide Hauptdiagonalen. Entscheide mit Begründung, ob es magisch ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   Gegebene Werte

   Zeile	Sp. 1	Sp. 2	Sp. 3
   1	1	5	9
   2	6	7	2
   3	8	3	4

   

   Erste Spalte

   Diagonale links oben

   Diagonale rechts oben

   Urteil

   Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Prüfe die erste Spalte.

      $$\mathsf{1+6+8=15}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Auch die übrigen Spalten ergeben 15.

      $$\mathsf{5+7+3=15}$$

      $$\mathsf{9+2+4=15}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Die Hauptdiagonalen weichen jedoch ab.

      $$\mathsf{1+7+4=12\ne15}$$

      $$\mathsf{9+7+8=24\ne15}$$
   4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg

      Gleiche Zeilensummen reichen nicht. Das Quadrat ist nicht magisch.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Erste Spalte
      15
   2. Diagonale links oben
      12
   3. Diagonale rechts oben
      24
   4. Urteil
      Nicht magisch
   5. Begründung
      Die Hauptdiagonalen ergeben 12 bzw. 24 statt 15.
5. 05
   Aufgabe 5Magisches Quadrat · ÜbungBerechne die magische Summe für normale Quadrate der Ordnungen 3, 4 und 6.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • 3
   • 4
   • 6

   $\mathsf{M}$ für 3

   $\mathsf{M}$ für 4

   $\mathsf{M}$ für 6
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Setze die Ordnung 3 in die Formel ein.

      $$\mathsf{M=\frac{3\cdot(3^2+1)}2=\frac{3\cdot10}2=15}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Setze die Ordnung 4 ein.

      $$\mathsf{M=\frac{4\cdot(4^2+1)}2=\frac{4\cdot17}2=34}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Setze die Ordnung 6 ein.

      $$\mathsf{M=\frac{6\cdot(6^2+1)}2=\frac{6\cdot37}2=111}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. $\mathsf{M}$ für 3
      15
   2. $\mathsf{M}$ für 4
      34
   3. $\mathsf{M}$ für 6
      111
6. 06
   Aufgabe 6Magisches Quadrat · ÜbungZu jeder Zahl in L wird 2 addiert. Bestimme die neue Zeilensumme und erkläre, ob das Quadrat weiterhin magisch und noch normal ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   Ausgangsquadrat L

   Ausgangsquadrat L

   Zeile	Sp. 1	Sp. 2	Sp. 3
   1	8	1	6
   2	3	5	7
   3	4	9	2

   Addition

   2

   Neue Summe

   Magisch?

   Normal?
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Jede Zeile, Spalte und Hauptdiagonale enthält drei Zahlen. Jede dieser Zahlen wächst um 2.

      $$\mathsf{3\cdot2=6}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Alle maßgeblichen Summen wachsen also um 6.

      $$\mathsf{15+6=21}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Das Quadrat bleibt magisch. Es ist nicht mehr normal, weil es die Zahlen von 3 bis 11 statt von 1 bis 9 enthält.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Neue Summe
      21
   2. Magisch?
      Ja
   3. Normal?
      Nein; Zahlen 3 bis 11 statt 1 bis 9.
7. 07
   Aufgabe 7Magisches Quadrat · VertiefungVertiefung: Fülle das leere $\mathsf{3\times 3}$-Raster mit der Siam-Methode aus M-E3. Beginne mit 1 oben in der Mitte. Notiere, warum 4 und 7 nach unten gesetzt werden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   Größe n

   3

   Start

   Zeile 1, Spalte 2

   

   Grund für 4

   Grund für 7
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Setze die Zahlen der Reihe nach an diese Positionen:

   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      1: Zeile 1, Spalte 2. 2: Zeile 3, Spalte 3. 3: Zeile 2, Spalte 1.

   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Das diagonale Ziel für 4 liegt in Zeile 1, Spalte 2 und enthält bereits 1. Setze 4 deshalb unter die 3: Zeile 3, Spalte 1.

   4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg

      5: Zeile 2, Spalte 2. 6: Zeile 1, Spalte 3.

   5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg

      Das diagonale Ziel für 7 liegt in Zeile 3, Spalte 1 und enthält bereits 4. Setze 7 deshalb unter die 6: Zeile 2, Spalte 3.

   6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg

      8: Zeile 1, Spalte 1. 9: Zeile 3, Spalte 2.

   Beispielzeichnung

   

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Grund für 4
      Zielfeld Z1S2 ist schon mit 1 belegt.
   2. Grund für 7
      Zielfeld Z3S1 ist schon mit 4 belegt.
8. 08
   Aufgabe 8Magisches Quadrat · VertiefungVertiefung: Erzeuge aus dem zeilenweisen $\mathsf{4\times 4}$-Raster das Quadrat nach M-E4. Ersetze nur die markierten Diagonalfelder durch $\mathsf{17-a}$. Prüfe Zeile 2 und beide Diagonalen. Trage das Ergebnis in das separate leere Zielraster ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   Größe n

   4

   Ergänzungssumme

   17

   

   

   Zeile 2

   Diagonale links oben

   Diagonale rechts oben
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ersetze nur die acht markierten Diagonalfelder durch ihr Komplement zu 17.

      $$\mathsf{17-1=16}$$

      $$\mathsf{17-4=13}$$

      $$\mathsf{17-6=11}$$

      $$\mathsf{17-7=10}$$

      $$\mathsf{17-10=7}$$

      $$\mathsf{17-11=6}$$

      $$\mathsf{17-13=4}$$

      $$\mathsf{17-16=1}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Alle anderen Felder bleiben unverändert. Prüfe Zeile 2.

      $$\mathsf{5+11+10+8=34}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Prüfe beide Hauptdiagonalen.

      $$\mathsf{16+11+6+1=34}$$

      $$\mathsf{13+10+7+4=34}$$

   Beispielzeichnung

   

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Zeile 2
      34
   2. Diagonale links oben
      34
   3. Diagonale rechts oben
      34
9. 09
   Aufgabe 9Magisches Quadrat · VertiefungVertiefung: Führe im vorgegebenen $\mathsf{6\times 6}$-Quadrat die drei in M-E5 genannten Tausche aus. Prüfe danach Zeile 1, Spalte 2 und beide Hauptdiagonalen. Trage das Ergebnis in das separate leere Zielraster ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   Ausgangsquadrat

   Ausgangsquadrat

   Zeile	Sp. 1	Sp. 2	Sp. 3	Sp. 4	Sp. 5	Sp. 6
   1	8	1	6	26	19	24
   2	3	5	7	21	23	25
   3	4	9	2	22	27	20
   4	35	28	33	17	10	15
   5	30	32	34	12	14	16
   6	31	36	29	13	18	11

   Felder tauschen

   1. Zeile 1, Spalte 1tauschen mitZeile 4, Spalte 1
   2. Zeile 3, Spalte 1tauschen mitZeile 6, Spalte 1
   3. Zeile 2, Spalte 2tauschen mitZeile 5, Spalte 2

   

   

   Zeile 1

   Spalte 2

   Diagonale links oben

   Diagonale rechts oben
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Tausche die drei vorgegebenen Paare: 8 mit 35, 4 mit 31 und 5 mit 32. Prüfe anschließend Zeile 1.

      $$\mathsf{35+1+6+26+19+24=111}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Prüfe Spalte 2.

      $$\mathsf{1+32+9+28+5+36=111}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Prüfe beide Hauptdiagonalen.

      $$\mathsf{35+32+2+17+14+11=111}$$

      $$\mathsf{24+23+22+33+5+4=111}$$

   Beispielzeichnung

   

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Zeile 1
      111
   2. Spalte 2
      111
   3. Diagonale links oben
      111
   4. Diagonale rechts oben
      111
10. 10
    Aufgabe 10Magisches Quadrat · VertiefungVertiefung: Ordne 3, 4 und 6 dem passenden Verfahren zu. Begründe dann, warum ein normales $\mathsf{2\times 2}$-Quadrat unmöglich ist: Schreibe es als a,b / c,d und vergleiche erste Zeile mit erster Spalte.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

    Gegeben

    • 3
    • 4
    • 6
    • 2

    $\mathsf{n=3}$

    $\mathsf{n=4}$

    $\mathsf{n=6}$

    Begründung $\mathsf{n=2}$
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

       3 ist ungerade: Verwende die Siam-Methode.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

       4 ist durch vier teilbar: Verwende das Komplementverfahren.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

       6 lässt bei Division durch vier Rest 2: Verwende die Quadranten mit den speziellen Tauschen.

    4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg

       Für ein normales $\mathsf{2\times2}$-Quadrat müssten erste Zeile und erste Spalte dieselbe Summe haben:

       $$\mathsf{a+b=M}$$

       $$\mathsf{a+c=M}$$
    5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg

       Setze die beiden Ausdrücke gleich und ziehe auf beiden Seiten a ab.

       $$\mathsf{a+b=a+c}$$

       $$\mathsf{b=c}$$
    6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg

       Das widerspricht der Forderung nach vier verschiedenen Zahlen. Ein normales Quadrat dieser Ordnung ist daher unmöglich.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. $\mathsf{n=3}$
       Siam-Methode
    2. $\mathsf{n=4}$
       Komplementverfahren
    3. $\mathsf{n=6}$
       Quadranten und spezielle Tausche
    4. Begründung $\mathsf{n=2}$
       $\mathsf{a+b=a+c}$$\mathsf{b=c}$Normale Quadrate verlangen verschiedene Zahlen. Deshalb ist diese Gleichheit unmöglich.