Betrag

Erklärung 01

Abstand zur Null

1. 1

   Zahl innerhalb der Striche bestimmen.

2. 2

   Abstand zur Null zählen oder das Vorzeichen prüfen.

3. 3

   Betrag ohne negatives Vorzeichen angeben; $\mathsf{|0| = 0}$.

Für $\mathsf{a\geq0}$ gilt $\mathsf{|a|=a}$. Für $\mathsf{a<0}$ gilt $\mathsf{|a|=-a}$.

So geht es am Beispiel

Bestimme $\mathsf{|-4|}$, $\mathsf{|4|}$ und $\mathsf{|0|}$.

−4 liegt vier Einheiten links von 0.

$$\mathsf{|-4|=4}$$

4 liegt vier Einheiten rechts von 0.

$$\mathsf{|4|=4}$$

0 liegt auf 0 und hat Abstand null.

$$\mathsf{|0|=0}$$

Erklärung 02

Rechnen mit Beträgen

1. 1

   Innere Rechnung ausführen.

2. 2

   Betrag bilden.

3. 3

   Weitere äußere Rechenoperationen ausführen.

Erst innen rechnen, dann den Abstand bestimmen.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{|3-11| + 2}$.

Rechne zuerst innerhalb der Betragsstriche.

$$\mathsf{3-11=-8}$$

Bilde den Abstand zur Null.

$$\mathsf{|-8|=8}$$

Addiere anschließend 2.

$$\mathsf{8+2=10}$$

Erklärung 03

Vertiefung: Abstand und Funktion

1. 1

   Bezugszahl $\mathsf{c}$ und Abstand $\mathsf{d}$ lesen.

2. 2

   Links und rechts von $\mathsf{c}$ suchen.

3. 3

   Beide Werte einsetzen und prüfen.

Ein Abstand kann null oder positiv sein, niemals negativ.

1. 01
   Aufgabe 1Betrag · ÜbungBestimme die Beträge von $\mathsf{-9}$, 9 und 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • -9
   • 9
   • 0

   $\mathsf{|-9|}$

   $\mathsf{|9|}$

   $\mathsf{|0|}$
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      −9 und 9 sind jeweils neun Einheiten von 0 entfernt.

      $$\mathsf{|-9|=9}$$

      $$\mathsf{|9|=9}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      0 hat von sich selbst den Abstand null.

      $$\mathsf{|0|=0}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. $\mathsf{|-9|}$
      9
   2. $\mathsf{|9|}$
      9
   3. $\mathsf{|0|}$
      0
2. 02
   Aufgabe 2Betrag · ÜbungBestimme $\mathsf{|-2{,}4|}$ und $\mathsf{\left|-\frac35\right|}$.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   • $\mathsf{-2{,}4}$
   • $\mathsf{-\frac35}$

   Dezimalzahl

   Bruch
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Beide Zahlen sind negativ. Ihr Abstand zur Null wird positiv angegeben.

      $$\mathsf{|-2{,}4|=2{,}4}$$

      $$\mathsf{\left|-\frac35\right|=\frac35}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Dezimalzahl
      2,4
   2. Bruch
      $\mathsf{\frac{3}{5}}$
3. 03
   Aufgabe 3Betrag · ÜbungMarkiere $\mathsf{-3}$ und 3 am Zahlenstrahl. Zeichne je eine Abstandsklammer zur Null und beschrifte beide mit ihrem Betrag.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gegeben

   Bereich

   • -5
   • 5

   Schrittweite

   1

   Deine Zeichnung

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Betrag links

   Betrag rechts

   Alternativ auf Papier bearbeiten oder Punkte, Strecken beziehungsweise Rasterwerte in Worten und Zahlen beschreiben.

   Beschreibung der Zeichnung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Markiere die Punkte bei −3 und 3. Zeichne eine Klammer von −3 bis 0 und eine von 0 bis 3. Beide Abstände betragen drei Einheiten.

      $$\mathsf{|-3|=|3|=3}$$

   Beispielzeichnung

   

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Betrag links
      3
   2. Betrag rechts
      3
4. 04
   Aufgabe 4Betrag · ÜbungBerechne a) $\mathsf{|7-12|}$, b) $\mathsf{|-4+10|}$, c) $\mathsf{2\cdot|-6|-5}$.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   a

   b

   c
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      a) Berechne die Differenz und danach ihren Betrag.

      $$\mathsf{7-12=-5}$$

      $$\mathsf{|-5|=5}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      b) Berechne die Summe und danach ihren Betrag.

      $$\mathsf{-4+10=6}$$

      $$\mathsf{|6|=6}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      c) Bilde zuerst den Betrag, dann folgen Multiplikation und Subtraktion.

      $$\mathsf{|-6|=6}$$

      $$\mathsf{2\cdot6=12}$$

      $$\mathsf{12-5=7}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. a
      5
   2. b
      6
   3. c
      7
5. 05
   Aufgabe 5Betrag · ÜbungVergleiche $\mathsf{|-7+2|}$ mit $\mathsf{|-7|+|2|}$. Setze $\mathsf{<}$, $\mathsf{=}$ oder $\mathsf{>}$ ein und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Linker Wert

   Zeichen

   Rechter Wert

   Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Berechne links erst die Summe und dann den Betrag.

      $$\mathsf{|-7+2|=|-5|=5}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Bilde rechts die beiden Beträge vor dem Addieren.

      $$\mathsf{|-7|+|2|=7+2=9}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Vergleiche die Ergebnisse.

      $$\mathsf{5<9}$$
   4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg

      Hier ist der Betrag der Summe kleiner als die Summe der Beträge.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Linker Wert
      5
   2. Zeichen
      $\mathsf{<}$
   3. Rechter Wert
      9
   4. Begründung
      $\mathsf{5 < 9}$: Der Betrag der Summe ist hier kleiner als die Summe der Beträge.
6. 06
   Aufgabe 6Betrag · ÜbungBerechne $\mathsf{|(-3)\cdot4|}$ und $\mathsf{\left|\frac{-18}{6}\right|}$. Prüfe mit den Produkt- bzw. Quotientenregeln.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Produkt

   Quotient

   Produktregelprobe

   Quotientenregelprobe
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Berechne zuerst das Produkt innerhalb des Betrags.

      $$\mathsf{(-3)\cdot4=-12}$$

      $$\mathsf{|-12|=12}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Prüfe mit der Produktregel.

      $$\mathsf{|-3|\cdot|4|=3\cdot4=12}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Berechne dann den Quotienten innerhalb des Betrags.

      $$\mathsf{\frac{-18}{6}=-3}$$

      $$\mathsf{|-3|=3}$$
   4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg

      Prüfe mit der Quotientenregel.

      $$\mathsf{\frac{|-18|}{|6|}=\frac{18}{6}=3}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Produkt
      12
   2. Quotient
      3
   3. Produktregelprobe
      $\mathsf{|-3|\cdot|4|=3\cdot4=12}$
   4. Quotientenregelprobe
      $\mathsf{\frac{|-18|}{|6|}=\frac{18}{6}=3}$
7. 07
   Aufgabe 7Betrag · ÜbungGib alle reellen Lösungen an: a) $\mathsf{|x|=6}$, b) $\mathsf{|x|=0}$, c) $\mathsf{|x|=-2}$.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   a Lösungsmenge

   b Lösungsmenge

   c Lösungsmenge
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      a) Im Abstand 6 von 0 liegen −6 und 6.

      $$\mathsf{L=\{-6;6\}}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      b) Abstand null hat nur die 0.

      $$\mathsf{L=\{0\}}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      c) Ein negativer Abstand ist unmöglich. Es gibt keine reelle Lösung.

      $$\mathsf{L=\varnothing}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. a Lösungsmenge
      $\mathsf{\{-6;6\}}$
   2. b Lösungsmenge
      $\mathsf{\{0\}}$
   3. c Lösungsmenge
      $\mathsf{\varnothing}$
8. 08
   Aufgabe 8Betrag · ÜbungPrüfe die Aussage „$\mathsf{|-8|=-8}$“. Korrigiere sie und begründe in einem Satz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Korrektur

   Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ein Abstand ist nie negativ. Die Zahl −8 liegt acht Einheiten von 0 entfernt.

      $$\mathsf{|-8|=8}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Korrektur
      $\mathsf{|-8| = 8}$
   2. Begründung
      Ein Abstand ist nie negativ.
9. 09
   Aufgabe 9Betrag · VertiefungVertiefung: Löse $\mathsf{|x-4|=2}$ und führe beide Proben aus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Lösung links

   Lösung rechts

   Probe links

   Probe rechts
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Gehe von 4 aus zwei Einheiten nach links und rechts.

      $$\mathsf{4-2=2}$$

      $$\mathsf{4+2=6}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Prüfe beide Werte.

      $$\mathsf{|2-4|=|-2|=2}$$

      $$\mathsf{|6-4|=|2|=2}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Lösung links
      2
   2. Lösung rechts
      6
   3. Probe links
      $\mathsf{|2-4| = |-2| = 2}$
   4. Probe rechts
      $\mathsf{|6-4| = |2| = 2}$
10. 10
    Aufgabe 10Betrag · VertiefungVertiefung: Trage für $\mathsf{x=-2,-1,0,1,2}$ die Werte $\mathsf{y=|x|}$ ein. Zeichne die Punkte und verbinde sie im dargestellten Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

    Gegeben

    x-Werte

    • -2
    • -1
    • 0
    • 1
    • 2

    Deine Zeichnung

    

    Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

    $\mathsf{y}$ zu −2

    $\mathsf{y}$ zu −1

    $\mathsf{y}$ zu 0

    $\mathsf{y}$ zu 1

    $\mathsf{y}$ zu 2

    Alternativ auf Papier bearbeiten oder Punkte, Strecken beziehungsweise Rasterwerte in Worten und Zahlen beschreiben.

    Beschreibung der Zeichnung
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

       Bilde zu jedem vorgegebenen x-Wert den Betrag.

       $$\mathsf{|-2|=2}$$

       $$\mathsf{|-1|=1}$$

       $$\mathsf{|0|=0}$$

       $$\mathsf{|1|=1}$$

       $$\mathsf{|2|=2}$$
    2. Schritt 2 · Erklärung

       Trage die Punkte $\mathsf{(-2\mid2)}$, $\mathsf{(-1\mid1)}$, $\mathsf{(0\mid0)}$, $\mathsf{(1\mid1)}$ und $\mathsf{(2\mid2)}$ ein. Verbinde sie links und rechts geradlinig. Die Spitze liegt bei $\mathsf{(0\mid0)}$.

    Beispielzeichnung

    

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. $\mathsf{y}$ zu −2
       2
    2. $\mathsf{y}$ zu −1
       1
    3. $\mathsf{y}$ zu 0
       0
    4. $\mathsf{y}$ zu 1
       1
    5. $\mathsf{y}$ zu 2
       2