Einheiten umrechnen · Erklären & üben

Maßstab berechnen

Ein Maßstab vergleicht eine Länge in einer Abbildung mit der entsprechenden Länge in der Wirklichkeit. Die beiden Längen müssen vor dem Verhältnis in derselben Einheit stehen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein Verhältnis von Längen

Der Maßstab 1:n bedeutet: Eine Längeneinheit in der Abbildung entspricht n derselben Einheiten in Wirklichkeit. Bei n größer als 1 handelt es sich um eine Verkleinerung. 1:1 bedeutet Originalgröße. Ein Maßstab wie 3:1 ist eine Vergrößerung: Die Abbildung ist dreimal so lang wie das Original. Zeichnungen in diesem Blatt sind erläuterte Skizzen, sofern nicht ausdrücklich eine Messvorlage angegeben wird.

Lies die Reihenfolge Abbildung zu Wirklichkeit.
Vergleiche Längen in derselben Einheit.
Unterscheide Verkleinerung und Vergrößerung.

Maßstab = Abbildungslänge : Wirklichkeitslänge.

Ein Zentimeter in einer Abbildung entspricht bei Maßstab 1 zu 200 einer wirklichen Länge von 200 Zentimetern beziehungsweise zwei Metern. Die Darstellung ist eine Zuordnungsskizze und keine Messvorlage.

So geht es am Beispiel

Erkläre den Maßstab 1:200 am Beispiel von 1 cm in der Abbildung.

Ein Zentimeter in der Abbildung entspricht 200 cm in Wirklichkeit.

Umrechnen: $\mathsf{200:100=2}$ Meter

Erklärung 02

Von der Abbildung zur Wirklichkeit

Bei 1:n multiplizierst du die Abbildungslänge mit n. Erst danach wandelst du die Einheit bei Bedarf um. Der Grundbezug bleibt dieselbe Strecke. Maßstäbe wie 1:50 für einen Modellplan oder 1:25000 für einen Modellkartenausschnitt ändern nur den Längenfaktor, nicht das Verfahren.

Bestimme Abbildungslänge und Maßstabszahl.
Multipliziere mit der Maßstabszahl.
Wandle das Ergebnis in eine passende Einheit um.

$\mathsf{L=n\cdot l}$ beim Maßstab $\mathsf{1:n}$

So geht es am Beispiel

Eine Strecke misst in einem Modellplan 4 cm. Der Maßstab ist 1:250. Berechne die wirkliche Länge.

Wirkliche Zentimeter: $\mathsf{4\cdot250=1000}$

In Meter: $\mathsf{1000:100=10}$

Erklärung 03

Abbildung und Maßstab zurückrechnen

Für eine gesuchte Abbildungslänge teilst du die Wirklichkeitslänge durch n. Für einen gesuchten Maßstab teilst du die Wirklichkeitslänge durch die Abbildungslänge und schreibst 1:n. Beide Längen müssen positiv sein und in derselben Einheit vorliegen.

Wandle zuerst in gleiche Einheiten um.
Teile durch die bekannte positive Größe.
Schreibe Ergebnis und Verhältnisrichtung eindeutig.

$\mathsf{l=\frac{L}{n}}$ und $\mathsf{n=\frac{L}{l}}$

So geht es am Beispiel

Eine 12 m lange Strecke soll im Maßstab 1:400 abgebildet werden. Wie lang wird sie in Zentimetern?

Wirkliche Länge: $\mathsf{12\cdot100=1200}$ Zentimeter

Abbildungslänge: $\mathsf{1200:400=3}$

So geht es am Beispiel

5 cm in einer Abbildung entsprechen 20 m in Wirklichkeit. Bestimme den Maßstab.

Gleiche Einheit: $\mathsf{20\cdot100=2000}$ Zentimeter

Maßstabszahl: $\mathsf{2000:5=400}$

Erklärung 04

Flächen und Volumen skalieren anders

Der Maßstab bezieht sich auf Längen. Wenn alle Längen einer ähnlichen ebenen Figur mit n vervielfacht werden, wird ihre Fläche mit n² vervielfacht. Bei geometrisch ähnlichen Körpern wird das Volumen mit n³ vervielfacht. Diese Regeln setzen gleiche Form und einheitliche Skalierung in allen Richtungen voraus; sie gelten nicht allein aus einer einzelnen veränderten Länge.

Weiterlernen: „Flächeneinheiten“ erklärt die zugehörigen quadratischen Einheiten.

Prüfe, ob eine Länge, Fläche oder ein Volumen gesucht ist.
Nutze bei ähnlichen Figuren n, n² beziehungsweise n³.
Achte zusätzlich auf die richtige Maßeinheit.

Eine doppelte Seitenlänge ergibt bei einem Quadrat die vierfache Fläche.

Ein Quadrat mit Seite 1 und Fläche 1 steht neben einem Quadrat mit Seite 2 und Fläche 4. Das größere Quadrat ist in vier gleichgroße Quadrate derselben Größe wie das kleine unterteilt.

Bei einheitlicher Skalierung ähnlicher Figuren oder Körper mit dem Längenfaktor n wachsen Flächen mit n Quadrat und Volumen mit n hoch 3.

So geht es am Beispiel

Ein Rechteck ist in der Abbildung 2 cm mal 3 cm groß. Maßstab 1:10. Berechne Abbildungsfläche und wirkliche Fläche.

Abbildungsfläche: $\mathsf{2\cdot3=6}$ Quadratzentimeter

Erste wirkliche Seite: $\mathsf{2\cdot10=20}$ Zentimeter

Zweite wirkliche Seite: $\mathsf{3\cdot10=30}$ Zentimeter

Wirkliche Fläche: $\mathsf{20\cdot30=600}$ Quadratzentimeter

Flächenfaktor: $\mathsf{10^2=100}$

So geht es am Beispiel

Ein Würfelmodell hat die Kantenlänge 2 cm und den Maßstab 1:3. Berechne die wirkliche Kantenlänge und das wirkliche Volumen.

Wirkliche Kante: $\mathsf{2\cdot3=6}$ Zentimeter

Grundfläche: $\mathsf{6\cdot6=36}$ Quadratzentimeter

Volumen: $\mathsf{36\cdot6=216}$ Kubikzentimeter

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Maßstab berechnen · BasisWelche wirkliche Länge entspricht 1 cm bei Maßstab 1:500? Gib sie in Metern an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wirkliche Länge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{1\cdot500=500}$ Zentimeter
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{500:100=5}$ Meter
Ergebnis
1. Wirkliche Länge5 m
02
Aufgabe 2Maßstab berechnen · Basis6 cm in einer Abbildung mit Maßstab 1:200 entsprechen welcher wirklichen Länge in Metern?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wirkliche Länge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{6\cdot200=1200}$ Zentimeter
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{1200:100=12}$ Meter
Ergebnis
1. Wirkliche Länge12 m
03
Aufgabe 3Maßstab berechnen · BasisEine wirkliche Länge von 9 m wird im Maßstab 1:300 gezeichnet. Bestimme die Zeichnungslänge in Zentimetern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeichnungslänge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{9\cdot100=900}$ Zentimeter
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{900:300=3}$ Zentimeter
Ergebnis
1. Zeichnungslänge3 cm
04
Aufgabe 4Maßstab berechnen · Übung4 cm in einer Abbildung entsprechen 8 m in Wirklichkeit. Bestimme den Maßstab.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Maßstab
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{8\cdot100=800}$ Zentimeter
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{800:4=200}$
Ergebnis
1. Maßstab1:200
05
Aufgabe 5Maßstab berechnen · ÜbungEin 4 mm langes Bauteil wird im Maßstab 3:1 dargestellt. Wie lang ist die Abbildung? Handelt es sich um eine Vergrößerung oder Verkleinerung?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Abbildungslänge
Art der Darstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Abbildungslänge: $\mathsf{4\cdot3=12}$ Millimeter
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der erste Verhältniswert ist größer als der zweite.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Abbildungslänge12 mm
2. Art der DarstellungVergrößerung
06
Aufgabe 6Maßstab berechnen · ÜbungEine Quadratfläche misst in der Abbildung 9 cm². Die Darstellung hat den Maßstab 1:5. Berechne die wirkliche Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wirkliche Fläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Flächenfaktor: $\mathsf{5^2=25}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Wirkliche Fläche: $\mathsf{9\cdot25=225}$ Quadratzentimeter
Ergebnis
1. Wirkliche Fläche225 cm²
07
Aufgabe 7Maßstab berechnen · TransferEin Würfelmodell mit 1 cm Kantenlänge hat den Maßstab 1:4. Berechne die wirkliche Kantenlänge und das wirkliche Volumen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wirkliche Kantenlänge
Wirkliches Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Kante: $\mathsf{1\cdot4=4}$ Zentimeter
2. Schritt 2 · Erklärung
  Grundfläche: $\mathsf{4\cdot4=16}$ Quadratzentimeter
3. Schritt 3 · Erklärung
  Volumen: $\mathsf{16\cdot4=64}$ Kubikzentimeter
Ergebnisse & Teilantworten
1. Wirkliche Kantenlänge4 cm
2. Wirkliches Volumen64 cm³
08
Aufgabe 8Maßstab berechnen · TransferJemand verzehnfacht beim Maßstab 1:10 auch eine Flächenangabe. Ist das richtig? Nenne den richtigen Flächenfaktor und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Flächenfaktor
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei einheitlicher Skalierung wirken zwei Längenfaktoren: $\mathsf{10\cdot10=100}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Flächenfaktor100
3. BegründungEine Fläche entsteht aus zwei Längenrichtungen. Beide werden mit 10 skaliert, daher wirkt der Faktor 100.
09
Aufgabe 9Maßstab berechnen · TransferEine Modellkarte hat den Maßstab 1:25000. Zwei Punkte liegen auf ihr 3,2 cm auseinander. Berechne die zugehörige gerade Entfernung in Kilometern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gerade Entfernung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Wirkliche Zentimeter: $\mathsf{3{,}2\cdot25000=80000}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  In Meter: $\mathsf{80000:100=800}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  In Kilometer: $\mathsf{800:1000=0{,}8}$
Ergebnis
1. Gerade Entfernung0,8 km

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese den Maßstab als Abbildung zu Wirklichkeit.
Ich verwende vor der Verhältnisbildung dieselben Einheiten.
Ich rechne Abbildungslänge, Wirklichkeitslänge und Maßstab zurück.
Ich unterscheide lineare, quadratische und kubische Skalierung.

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