Vektoren · Erklären & üben

Vektoren addieren und subtrahieren

Addition setzt Verschiebungen zusammen. Subtraktion addiert den Gegenvektor. In beiden Fällen rechnest du passende Komponenten miteinander.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Komponenten addieren

Für Vektoren gleicher Dimension gilt $\mathsf{\vec a+\vec b=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}}$ . Im Raum kommt eine dritte Komponente hinzu.

Achte bei negativen Zahlen auf die Vorzeichen. Komponenten aus verschiedenen Zeilen werden nicht vermischt.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{\begin{pmatrix}2+(1)\\1+(2)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.

$\mathsf{\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.

Erklärung 02

Pfeile zusammensetzen

Bei der Spitze-an-Schaft-Regel setzt du den Anfang des zweiten Pfeils an die Spitze des ersten. Der Summenpfeil führt vom ersten Anfang zum letzten Ende.

Starten beide Pfeile am selben Punkt, bildet die Diagonale des Parallelogramms ihre Summe. Die Pfeile dürfen parallel verschoben werden.

Geometrische Spitze-an-Schaft-Addition (2|1)+(1|2)=(3|3).

Erklärung 03

Subtrahieren heißt Gegenvektor addieren

Es gilt $\mathsf{\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)}$ . Der Gegenvektor hat in jeder Komponente das entgegengesetzte Vorzeichen.

Starten a und b am selben Punkt, führt der Differenzpfeil a−b von der Spitze von b zur Spitze von a.

Gemeinsamer Startpunkt (0|0). Differenzpfeil von (1|3) nach (4|1) hat Komponenten (3|−2).

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{\begin{pmatrix}4-(1)\\1-(3)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.

$\mathsf{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.

Erklärung 04

Rechenregeln und Grenzen

Addition ist vertauschbar: $\mathsf{\vec a+\vec b=\vec b+\vec a}$ . Auch die Klammerung darf bei einer Summe geändert werden.

Der Nullvektor verändert beim Addieren nichts. Ein Vektor und sein Gegenvektor ergeben den Nullvektor.

Subtraktion ist im Allgemeinen nicht vertauschbar. Beim Vertauschen wechselt das Vorzeichen des Ergebnisses.

Bei einer Linearkombination werden zunächst Vektoren mit Zahlen multipliziert und dann addiert. Das eigene Thema Linearkombination vertieft dies. Die Multiplikation mit einer Zahl erklärt auch der Überblick Vektorrechnung.

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ und die umgekehrte Differenz.

$\mathsf{\begin{pmatrix}2-(0)\\0-(1)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.

$\mathsf{\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.

$\mathsf{\begin{pmatrix}0-(2)\\1-(0)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.

$\mathsf{\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Vektoren addieren und subtrahieren · EinstiegBerechne $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}1+(3)\\4+(-2)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.
Ergebnis
1. Ergebnis mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$
02
Aufgabe 2Vektoren addieren und subtrahieren · EinstiegBerechne $\mathsf{\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}5-(2)\\-1-(3)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.
Ergebnis
1. Ergebnis mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}}$
03
Aufgabe 3Vektoren addieren und subtrahieren · StandardBerechne $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}1+(4)\\-2+(1)\\3+(-5)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}5\\-1\\-2\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.
Ergebnis
1. Ergebnis mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}5\\-1\\-2\end{pmatrix}}$
04
Aufgabe 4Vektoren addieren und subtrahieren · StandardBerechne $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}2-(-3)\\0-(2)\\-1-(4)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}5\\-2\\-5\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.
Ergebnis
1. Ergebnis mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}5\\-2\\-5\end{pmatrix}}$
05
Aufgabe 5Vektoren addieren und subtrahieren · StandardBerechne $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}}$ und deute das Ergebnis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summenvektor mit Rechnung
Geometrische Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}2+(-2)\\-1+(1)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Die Verschiebung und ihr Gegenweg heben sich auf.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Summenvektor mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
2. Geometrische DeutungInsgesamt keine Verschiebung; beide Wege heben sich auf.
06
Aufgabe 6Vektoren addieren und subtrahieren · StandardBestimme $\mathsf{\vec x}$ aus $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}+\vec x=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Unbekannter Vektor mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec x=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ — den gegebenen Vektor auf beiden Seiten subtrahieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec x=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$ — Komponenten ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}$ — einsetzen und prüfen.
Ergebnis
1. Unbekannter Vektor mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$
07
Aufgabe 7Vektoren addieren und subtrahieren · StandardBerechne $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summe mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}$ — die ersten beiden Vektoren addieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}$ — den dritten Vektor addieren.
Ergebnis
1. Summe mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}$
08
Aufgabe 8Vektoren addieren und subtrahieren · VertiefungBei $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}}$ schreibt jemand $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}}$ . Erkläre den Fehler und berechne richtig.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlererklärung
Richtiger Vektor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  In der zweiten Komponente wird eine negative Zahl subtrahiert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2-(-4)=2+4=6}$ — das doppelte Minus ergibt Plus.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}$ — beide korrekten Komponenten zusammenstellen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. FehlererklärungDie zweite Komponente muss 2−(−4)=6 sein.
2. Richtiger Vektor $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}$
09
Aufgabe 9Vektoren addieren und subtrahieren · VertiefungBestimme t so, dass $\mathsf{\begin{pmatrix}t\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}}$ gilt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Parameter mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t+3=7}$ — erste Komponenten gleichsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{t=4}$ — 3 subtrahieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2-1=1}$ — zweite Komponente stimmt bereits.
Ergebnis
1. Parameter mit Rechnung $\mathsf{t=4}$
10
Aufgabe 10Vektoren addieren und subtrahieren · VertiefungBerechne getrennt a) $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}$ und b) $\mathsf{\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$ . Beschreibe den Zusammenhang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Differenz
b) Differenz
Zusammenhang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}1-(4)\\3-(1)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}4-(1)\\1-(3)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  Die Ergebnisse sind Gegenvektoren.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Differenz $\mathsf{\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}$
2. b) Differenz $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$
3. ZusammenhangDie Ergebnisse haben entgegengesetzte Vorzeichen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Punkte und Vektoren.
Ich rechne komponentenweise und prüfe die Vorzeichen.
Ich deute mein Ergebnis geometrisch.

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