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Körper verstehen · Erklären & üben

Oberflächeninhalt

Der Oberflächeninhalt ist die Summe aller äußeren Flächen eines Körpers. Ein Netz hilft dir, jede Fläche genau einmal zu berücksichtigen und fehlende Deckel oder innere Kontaktflächen zu erkennen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Äußere Flächen addieren

Der Oberflächeninhalt hat eine Quadrateinheit, etwa cm². Volumen misst dagegen den Innenraum in cm³. Bei einem geschlossenen Körper zählen alle äußeren Flächen, auch die Unterseite; bei offenen Behältern fehlt beispielsweise die Deckfläche.

  1. Kläre zuerst, welche Flächen tatsächlich vorhanden sind.

Eine Flächenformel ersetzt keine Beschreibung des Körpers.

Erklärung 02

Die Quaderformel

Ein Quader besitzt drei Paare gleich großer Rechtecke. Grund- und Deckfläche haben Inhalt ab, die anderen Paare ah und bh. Der Faktor 2 zählt jeweils beide Flächen.

  1. Berechne die drei unterschiedlichen Rechtecksflächen.

  2. Addiere und verdopple.

O=2(ab+ah+bh)\mathsf{O=2(ab+ah+bh)}

Quader mit Länge a, Breite b und Höhe h.
Quadernetz mit Grund- und Deckfläche 4cm×3cm und Mantelhöhe 2cm.

So geht es am Beispiel

Ein geschlossener Quader hat a = 4 cm, b = 3 cm und h = 2 cm.

ab=12 cm2,ah=8 cm2,bh=6 cm2\mathsf{ab=12\,\mathsf{cm}^2,\quad ah=8\,\mathsf{cm}^2,\quad bh=6\,\mathsf{cm}^2}
O=2(12+8+6)=52 cm2\mathsf{O=2(12+8+6)=52\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

52 cm²

Erklärung 03

Sonderfall Würfel

Beim Würfel sind alle sechs Flächen gleich große Quadrate. Deshalb reicht es, eine Quadratfläche zu berechnen und mit sechs zu multiplizieren.

  1. Die Kantenlänge wird quadriert, nicht hoch drei genommen.

O=6a2\mathsf{O=6a^2}

So geht es am Beispiel

Ein Würfel hat Kantenlänge 3 cm.

O=6⋅32=54 cm2\mathsf{O=6\cdot3^2=54\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

54 cm²

Erklärung 04

Eine offene Schachtel

Bei einer oben offenen Schachtel wird die Deckfläche nicht mitgezählt. Boden und vier Seiten bleiben erhalten. Vernachlässigt wird hier die Materialdicke; gezählt wird die Fläche der fünf idealisierten Wände jeweils einmal.

  1. Berechne die geschlossene Quaderoberfläche.

  2. Ziehe die fehlende Deckfläche ab.

Ooffen=ab+2ah+2bh\mathsf{O_{\mathsf{offen}}=ab+2ah+2bh}

So geht es am Beispiel

Die Schachtel hat a = 4 cm, b = 3 cm und h = 2 cm. Berechne die Fläche der fünf Wände.

Ogeschlossen=52 cm2\mathsf{O_{\mathsf{geschlossen}}=52\,\mathsf{cm}^2}
Ooffen=52−12=40 cm2\mathsf{O_{\mathsf{offen}}=52-12=40\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

40 cm²

Erklärung 05

Oberfläche und Volumen vergleichen

Beim Verdoppeln aller Kantenlängen wird die Oberfläche viermal und das Volumen achtmal so groß. Die Größen reagieren unterschiedlich, weil Flächen zwei und Volumina drei Längendimensionen enthalten.

  1. Weiterlernen: Volumen berechnen für den Rauminhalt.

  2. Für gekrümmte Mantelflächen folgen die jeweiligen Körperformeln später.

Gleiche Volumina bedeuten nicht automatisch gleiche Oberflächen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Oberflächeninhalt · AnwendenGeschlossener Quader: a = 5 cm, b = 3 cm, h = 2 cm. Berechne O.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      O=2(15+10+6)=62 cm2\mathsf{O=2(15+10+6)=62\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Oberfläche62 cm²
  2. Aufgabe 2Oberflächeninhalt · AnwendenWürfel: a = 4 cm. Berechne O.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      O=6⋅16=96 cm2\mathsf{O=6\cdot16=96\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Oberfläche96 cm²
  3. Aufgabe 3Oberflächeninhalt · AnwendenEine oben offene, idealisierte Schachtel hat a = 5 cm, b = 3 cm, h = 2 cm. Berechne die Fläche ihrer fünf Wände jeweils einmal; Materialdicke wird vernachlässigt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      O=5⋅3+2⋅5⋅2+2⋅3⋅2=47 cm2\mathsf{O=5\cdot3+2\cdot5\cdot2+2\cdot3\cdot2=47\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnis

    1. Wandfläche47 cm²
  4. Aufgabe 4Oberflächeninhalt · AnwendenEine Rechnung zur Oberfläche ergibt die Zahl 72 bei ausschließlich in Zentimetern angegebenen Längen. Welche Einheit ist richtig: cm, cm² oder cm³?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Oberfläche ist eine Summe von Flächen, deshalb Quadrateinheit.

    Ergebnis

    1. Einheitcm²
  5. Aufgabe 5Oberflächeninhalt · AnwendenMarkiere im Netz die beiden Flächen, die jeweils 4 cm × 3 cm groß sind. Lass die übrigen Flächen frei.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Markiertes Flächenpaar

    Vorbereitetes Quadernetz mit A bis D und G 1/G 2; alle Flächen ungefärbt.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Mantelflächen haben Höhe 2cm.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Die beiden angesetzten Rechtecke G₁ und G₂ sind Grund- und Deckfläche.

    Ergebnis

    1. Markiertes FlächenpaarG₁ und G₂ sind markiert; A bis D bleiben frei.
  6. Aufgabe 6Oberflächeninhalt · AnwendenAlle Kanten eines Quaders werden verdoppelt. Mit welchem Faktor verändert sich seine Oberfläche?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Oneu=2(4ab+4ah+4bh)=4O\mathsf{O_{\mathsf{neu}}=2(4ab+4ah+4bh)=4O}

    Ergebnis

    1. Faktor4

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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