Kombinatorik · Erklären & üben

Permutation mit Wiederholung

Eine Permutation mit Wiederholung ordnet einen festen Bestand an, in dem einige Objekte ununterscheidbar sind. Die Häufigkeit jeder Sorte bleibt fest.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Fester Bestand statt freier Auswahl

Alle vorgegebenen Objekte werden in einer Reihe angeordnet. Gleichartige Objekte sind ununterscheidbar. Wenn du die beiden A-Karten in AAB vertauschst, entsteht kein neues Wort.

Eine Kombination wählt dagegen eine ungeordnete Teilmenge oder Multimenge aus. Freies Wiederholen an jeder Position ist eine Variation mit Wiederholung, keine Anordnung eines festen Sortenbestands.

Notiere die Gesamtzahl und jede Sortenhäufigkeit.
Prüfe, ob Vertauschungen innerhalb einer Sorte sichtbar sind.

$\mathsf{n_1+\cdots+n_r=n}$

Das Vertauschen der beiden A-Karten ändert das sichtbare Wort nicht; jedes sichtbare Wort wird doppelt gezählt.

So geht es am Beispiel

Wie viele sichtbare Wörter entstehen aus A, A, B?

Gedanklich nummerierte A-Karten ergeben sechs Reihenfolgen, aber je zwei zeigen dasselbe Wort.

\mathsf{N=\frac{3!}{2!}=3}

Erklärung 02

Mehrfachzählungen entfernen

Die Fakultät der Gesamtzahl zählt zunächst alle Karten als verschieden. Jede Sortenfakultät zählt unsichtbare Vertauschungen. Teile durch das Produkt dieser Faktoren. Die Häufigkeiten sind nichtnegative ganze Zahlen mit Summe n; eine nicht vorkommende Sorte liefert Faktor 1.

Berechne die Gesamtfakultät.
Teile durch die Fakultät jeder Sortenhäufigkeit.

$\mathsf{N=\frac{n!}{n_1!\cdots n_r!},\qquad0!=1}$

Feste Sortenbestände statt freier Wiederholungswahl.

So geht es am Beispiel

Ordne A, A, B, B in einer Reihe an.

Beide Sorten haben jeweils zwei gleiche Karten.

\mathsf{N=\frac{4!}{2!\,2!}=6}

Erklärung 03

Alle verschieden als Sonderfall

Sind alle Objekte unterscheidbar, haben die Sortenhäufigkeiten jeweils den Wert 1. Dann bleibt die Gesamtfakultät. Das Thema Permutation ohne Wiederholung behandelt diesen Fall.

Bei gleichmäßigem zufälligem Mischen der unterscheidbar nummerierten Karten sind sichtbare Wörter desselben festen Bestands gleich wahrscheinlich: Jedes fasst gleich viele nummerierte Reihenfolgen zusammen.

Prüfe, ob jeder sichtbare Fall dieselbe Zahl nummerierter Folgen enthält.

$\mathsf{1!=1}$

So geht es am Beispiel

Ordne die fünf Karten A, A, A, B, C. Wie viele sichtbare Wörter gibt es?

\mathsf{N=\frac{5!}{3!}=20}

Die drei A-Karten erzeugen sechs unsichtbare Vertauschungen pro Wort.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Permutation mit Wiederholung · EinstiegWie viele sichtbare Wörter entstehen aus A, A, A, B?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wörter
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{N=\frac{4!}{3!}=4}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Position des einzigen B bestimmt das Wort.
Ergebnis
1. Wörter $\mathsf{4}$
02
Aufgabe 2Permutation mit Wiederholung · EinstiegOrdne die Karten A, A, B, B, B. Bestimme die Anzahl sichtbarer Wörter.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wörter
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{N=\frac{5!}{2!\,3!}=10}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Vertauschungen innerhalb jeder der beiden Sorten zählen nicht neu.
Ergebnis
1. Wörter $\mathsf{10}$
03
Aufgabe 3Permutation mit Wiederholung · AnwendenTrage alle sichtbaren Wörter aus A, A, B, B in die Vorlage ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Alle Wörter
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Alle Wörter
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ordne nach den beiden Positionen der A-Karten; die B-Karten füllen die übrigen Plätze.
Ergebnis
1. Alle WörterAABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA.
04
Aufgabe 4Permutation mit Wiederholung · AnwendenWie viele Wörter entstehen aus A, A, B, B, C, C?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wörter
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{N=\frac{6!}{2!\,2!\,2!}=90}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Drei Sorten liefern je einen Faktor 2 im Nenner.
Ergebnis
1. Wörter $\mathsf{90}$
05
Aufgabe 5Permutation mit Wiederholung · TransferA, A, A, B, B werden gleichmäßig zufällig gemischt. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau das Wort AABAB.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die zehn sichtbaren Wörter sind gleichwahrscheinlich, weil jedes gleich viele nummerierte Reihenfolgen enthält.
  $\mathsf{P(\mathsf{AABAB})=\frac1{10}}$
Ergebnis
1. Wahrscheinlichkeit $\mathsf{\frac1{10}}$
06
Aufgabe 6Permutation mit Wiederholung · TransferVergleiche: alle Wörter aus dem festen Bestand A, A, B, B und alle vierstelligen Codes aus A oder B mit beliebiger Wiederholung. Bestimme beide Anzahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fester Bestand
Freie Codes
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Beim festen Bestand müssen beide Sorten genau zweimal vorkommen.
  $\mathsf{N_{\mathsf{Bestand}}=\frac{4!}{2!\,2!}=6}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beim Code ist die Sortenanzahl nicht fest.
  $\mathsf{N_{\mathsf{Code}}=2^4=16}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fester Bestand $\mathsf{6}$
2. Freie Codes $\mathsf{16}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe, ob die Reihenfolge zählt und Wiederholungen möglich sind.
Ich begründe die Zählregel und unterscheide Anzahl und Wahrscheinlichkeit.
Ich teile nur durch die Fakultäten ununterscheidbarer Sortenbestände.

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