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Kombinatorik · Erklären & üben

Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge

Bei geordneten Auswahlen mit Wiederholung steht an jeder Stelle wieder der ganze Vorrat bereit.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Wiederholen und Positionen beachten

Die Reihenfolge unterscheidet die Ergebnisse; dasselbe Zeichen darf mehrfach vorkommen. Dieser Auswahlfall heißt Variation mit Wiederholung.

Die Zahl der verfügbaren Typen ist eine positive ganze Zahl n, die Anzahl der Stellen eine nichtnegative ganze Zahl k. Jede Stelle darf mit jedem Typ belegt werden.

  1. Zähle die Typen.

  2. Zähle die Positionen und prüfe zusätzliche Einschränkungen.

N=nk\mathsf{N=n^k}

Drei unterscheidbare Positionen mit je zwei erneut erlaubten Zeichen; acht Codes.

So geht es am Beispiel

Ein Signal besteht aus drei Lampenpositionen. Jede zeigt Rot oder Blau. Wie viele Signale sind möglich?

Drei unabhängige Wahlpositionen haben jeweils zwei zulässige Zustände.

N=23=8\mathsf{N=2^3=8}

Ergebnis

8 Signale.

Erklärung 02

Gleiche oder unterschiedliche Chancen

Sind die Ziehungen unabhängig und alle n Typen jeweils gleichwahrscheinlich, hat jede konkrete Folge dieselbe Wahrscheinlichkeit. Bei ungleich verteilten Sorten müssen die passenden Astchancen multipliziert werden.

Zurücklegen hält den Bestand konstant; Unabhängigkeit setzt zusätzlich dieselbe zufällige Auswahlregel ohne Erinnerung voraus.

  1. Prüfe Unabhängigkeit und Gleichwahrscheinlichkeit.

  2. Multipliziere die konkreten Astchancen.

P(festgelegte Folge)=(1n)k\mathsf{P(\textsf{festgelegte Folge})=\left(\frac1n\right)^k}

Vier geordnete Folgen, jede mit Chance ein Viertel bei unabhängigen fairen Ziehungen.

So geht es am Beispiel

Bei zwei unabhängigen fairen Ziehungen aus A und B: Wie wahrscheinlich ist die Folge BA?

P(BA)=12⋅12=14\mathsf{P(BA)=\frac12\cdot\frac12=\frac14}

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/4.

Erklärung 03

Bedingungen ändern die Faktoren

Ein Zahlencode darf mit 0 beginnen, sofern die Aufgabe dies erlaubt. Eine mehrstellige natürliche Zahl hat dagegen keine führende 0. Bei solchen Bedingungen wird die erste Stelle getrennt gezählt.

  1. Lies Einschränkungen vor der Rechnung.

  2. Passe die Auswahlzahl jeder betroffenen Stelle an.

N=n1n2⋯nk\mathsf{N=n_1n_2\cdots n_k}

So geht es am Beispiel

Wie viele dreistellige natürliche Zahlen lassen sich aus 0, 2, 5 mit Wiederholung bilden?

Die erste Stelle erlaubt nur 2 oder 5, die beiden anderen erlauben alle drei Ziffern.

N=2⋅3⋅3=18\mathsf{N=2\cdot3\cdot3=18}

Ergebnis

18 Zahlen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge · EinstiegEin vierstelliger Code verwendet A oder B an jeder Stelle, Wiederholung erlaubt. Bestimme die Anzahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      N=24=16\mathsf{N=2^4=16}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die vier Positionen sind unterscheidbar.

    Ergebnis

    1. Codes16\mathsf{16}
  2. Aufgabe 2Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge · EinstiegEin dreistelliger Code verwendet die Ziffern 0 bis 9, auch mehrfach. Führende 0 ist erlaubt. Wie viele Codes gibt es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      N=103=1000\mathsf{N=10^3=1000}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Jede Stelle hat zehn Möglichkeiten.

    Ergebnis

    1. Codes1000\mathsf{1000}
  3. Aufgabe 3Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge · AnwendenTrage alle geordneten Zweiercodes aus A und B mit Wiederholung in die Vorlage ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Alle Codes

    Vorbereitete Tabelle: Zweiercodes aus A und B; 1. Stelle, 2. Stelle. Leere Zeilen zum systematischen Eintragen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Nach A und nach B sind jeweils wieder A und B erlaubt.

    Ergebnis

    1. Alle CodesAA, AB, BA, BB.
  4. Aufgabe 4Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge · AnwendenEin fairer Würfel wird zweimal unabhängig geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit der genauen Folge 2, 5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(2,5)=16⋅16=136\mathsf{P(2,5)=\frac16\cdot\frac16=\frac1{36}}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit136\mathsf{\frac1{36}}
  5. Aufgabe 5Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge · TransferEine Urne enthält 2 rote und 3 blaue Kugeln. Zweimal wird unabhängig gleichmäßig mit Zurücklegen gezogen. Berechne die Chance für erst Rot, dann Blau.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(RB)=25⋅35=625\mathsf{P(RB)=\frac25\cdot\frac35=\frac6{25}}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Zurücklegen stellt vor der zweiten Ziehung denselben Bestand wieder her.

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit625\mathsf{\frac6{25}}
  6. Aufgabe 6Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge · TransferBilde dreistellige natürliche Zahlen aus 0, 1, 2, 3 mit Wiederholung. Bestimme ihre Anzahl und getrennt die Anzahl dreistelliger Codes, bei denen 0 am Anfang erlaubt ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Bei Zahlen hat nur die erste Stelle drei statt vier Möglichkeiten.

      NZahlen=3⋅42=48\mathsf{N_{\mathsf{Zahlen}}=3\cdot4^2=48}
      NCodes=43=64\mathsf{N_{\mathsf{Codes}}=4^3=64}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Natürliche Zahlen48\mathsf{48}
    2. Codes64\mathsf{64}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe, ob die Reihenfolge zählt und Wiederholungen möglich sind.
  • Ich begründe die Zählregel und unterscheide Anzahl und Wahrscheinlichkeit.
  • Ich prüfe insbesondere führende Nullen und ungleiche Astchancen.

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