Quadratische Gleichungen · Erklären & üben

Quadratische Gleichungen lösen

Ein passendes Verfahren spart Umwege. Du bringst die Gleichung zuerst in eine übersichtliche Form, wählst einen Rechenweg und prüfst die gefundenen Werte. Wir rechnen über $\mathsf{\mathbb{R}}$ .

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vor dem Rechnen entscheiden

Fasse zusammen und bringe alle Terme auf eine Seite: $\mathsf{ax^2+bx+c=0}$ mit $\mathsf{a\ne0}$ . Fehlt der lineare Term, bietet sich Wurzelziehen an. Fehlt das konstante Glied, klammere die Variable aus.

Bei einer vollständigen Gleichung funktionieren die abc-Formel oder nach Normieren die pq-Formel. Vieta hilft, wenn Summe und Produkt der Lösungen leicht erkennbar sind. Eine quadratische Ergänzung ist günstig, wenn du eine binomische Formel erkennst.

Anders als im Begriffsüberblick geht es hier um die begründete Auswahl und den vollständigen Ablauf bis zur Probe.

Entscheidungsdiagramm mit drei strukturell passenden Verfahren und abschließender Probe.

Erklärung 02

Drei vollständige Rechenwege

Notiere Umformungen untereinander. Durch die Variable zu teilen ist gefährlich: Eine Lösung null kann dadurch verschwinden.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{3x^2-27=0}$ und prüfe.

$\mathsf{3x^2=27}$ — auf beiden Seiten 27 addieren.

$\mathsf{x^2=9}$ — durch 3 teilen.

$\mathsf{x=3}$ oder $\mathsf{x=-3}$ — beide Wurzelvorzeichen berücksichtigen.

$\mathsf{3\cdot3^2-27=0}$ — die positive Lösung prüfen.

$\mathsf{3\cdot(-3)^2-27=0}$ — die negative Lösung prüfen.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{2x^2-14x=0}$ und prüfe.

$\mathsf{2x(x-7)=0}$ — den gemeinsamen Faktor ausklammern.

$\mathsf{x=0}$ oder $\mathsf{x-7=0}$ — Nullprodukt anwenden. Der Faktor 2 ist ungleich null.

$\mathsf{x=7}$ — zur zweiten Gleichung 7 addieren.

$\mathsf{2\cdot0^2-14\cdot0=0}$ — null prüfen.

$\mathsf{2\cdot7^2-14\cdot7=98-98=0}$ — die zweite Lösung prüfen.

So geht es am Beispiel

Löse $\mathsf{3x^2-5x-2=0}$ mit der abc-Formel.

$\mathsf{a=3,\ b=-5,\ c=-2}$ — Koeffizienten ablesen.

$\mathsf{D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=49}$ — Diskriminante berechnen.

$\mathsf{x=\frac{5\pm\sqrt{49}}{6}}$ — in die Formel einsetzen.

$\mathsf{x=\frac{5\pm7}{6}}$ — Wurzel berechnen.

$\mathsf{x_1=2,\quad x_2=-\frac13}$ — beide Vorzeichen auswerten.

$\mathsf{3\cdot2^2-5\cdot2-2=0}$ — erste Lösung prüfen.

$\mathsf{3\cdot(-\frac13)^2-5\cdot(-\frac13)-2=\frac13+\frac53-2=0}$ — zweite Lösung prüfen.

Erklärung 03

Ergebnis und zulässige Werte

Für $\mathsf{D=b^2-4ac}$ gilt: positiv bedeutet zwei verschiedene reelle Lösungen, null eine doppelte Lösung und negativ keine reelle Lösung. Die vollständigen Formelverfahren stehen in „Mitternachtsformel“ und „pq-Formel“ dieses Blocks.

In einer Sachaufgabe kann eine rechnerische Lösung unzulässig sein. Eine Länge muss zum Beispiel positiv sein. Die Probe kontrolliert die Ausgangsgleichung, die Sachsituation entscheidet über zulässige Werte.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Quadratische Gleichungen lösen · GrundlagenLöse $\mathsf{4x^2=100}$ . Begründe die Verfahrenswahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verfahrenswahl
Rechenweg und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=25}$ — durch 4 teilen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\pm5}$ — beide Wurzelvorzeichen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. VerfahrenswahlWurzelziehen, weil nur ein Quadrat und eine Zahl vorkommen.
2. Rechenweg und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-5,5\}}$
02
Aufgabe 2Quadratische Gleichungen lösen · GrundlagenLöse $\mathsf{5x^2-20x=0}$ . Begründe die Verfahrenswahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verfahrenswahl
Rechenweg und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5x(x-4)=0}$ — ausklammern.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0}$ oder $\mathsf{x-4=0}$ — Nullprodukt.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=4}$ — zur zweiten Gleichung 4 addieren.
Ergebnisse & Teilantworten
1. VerfahrenswahlAusklammern, weil jeder Summand den Faktor x enthält.
2. Rechenweg und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{0,4\}}$
03
Aufgabe 3Quadratische Gleichungen lösen · GrundlagenLöse $\mathsf{(x-2)^2=16}$ . Begründe die Verfahrenswahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verfahrenswahl
Rechenweg und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-2=\pm4}$ — das Quadrat durch Wurzelziehen auflösen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=2\pm4}$ — 2 addieren.
Ergebnisse & Teilantworten
1. VerfahrenswahlWurzelziehen, weil ein vollständiges Quadrat bereits freisteht.
2. Rechenweg und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-2,6\}}$
04
Aufgabe 4Quadratische Gleichungen lösen · AnwendenLöse $\mathsf{x^2+5x+6=0}$ . Begründe die Verfahrenswahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verfahrenswahl
Rechenweg und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-2)+(-3)=-5}$ — passende Summe prüfen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(-2)\cdot(-3)=6}$ — passendes Produkt prüfen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x+2)(x+3)=0}$ — die passende Faktorzerlegung notieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+2=0}$ oder $\mathsf{x+3=0}$ — Nullprodukt.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-2}$ — in der ersten Gleichung 2 abziehen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-3}$ — in der zweiten Gleichung 3 abziehen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. VerfahrenswahlVieta bzw. Faktorisieren, weil kleine ganzzahlige Lösungen erkennbar sind.
2. Rechenweg und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-3,-2\}}$
05
Aufgabe 5Quadratische Gleichungen lösen · AnwendenLöse $\mathsf{2x^2-3x-2=0}$ . Begründe die Verfahrenswahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verfahrenswahl
Rechenweg und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=25}$ — Diskriminante.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=\frac{3\pm5}{4}}$ — abc-Formel einsetzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x_1=2,\quad x_2=-\frac12}$ — Werte berechnen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Verfahrenswahlabc-Formel, weil eine vollständige Form mit Leitkoeffizient 2 vorliegt.
2. Rechenweg und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-\frac12,2\}}$
06
Aufgabe 6Quadratische Gleichungen lösen · AnwendenLöse $\mathsf{x^2-8x+16=0}$ . Begründe die Verfahrenswahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verfahrenswahl
Rechenweg und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x-4)^2=0}$ — binomische Formel erkennen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x-4=0}$ — ein Quadrat ist nur bei Basis null gleich null.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=4}$ — 4 addieren.
Ergebnisse & Teilantworten
1. VerfahrenswahlBinomische Formel, weil links ein vollständiges Quadrat steht.
2. Rechenweg und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{4\}}$
07
Aufgabe 7Quadratische Gleichungen lösen · AnwendenLöse $\mathsf{3x^2+12=0}$ . Begründe die Verfahrenswahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verfahrenswahl
Rechenweg und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x^2=-12}$ — 12 abziehen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2=-4}$ — durch 3 teilen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Ein reelles Quadrat kann nicht negativ sein.
Ergebnisse & Teilantworten
1. VerfahrenswahlQuadrat freistellen; das Vorzeichen zeigt sofort, dass keine reelle Lösung existiert.
2. Rechenweg und Lösungsmenge $\mathsf{L=\varnothing}$
08
Aufgabe 8Quadratische Gleichungen lösen · VertiefenLöse $\mathsf{x(x+3)=10}$ . Begründe die Verfahrenswahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verfahrenswahl
Rechenweg und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+3x=10}$ — ausmultiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+3x-10=0}$ — 10 abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-\frac32\pm\sqrt{\frac94+10}}$ — pq-Formel.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-\frac32\pm\frac72}$ — Wurzel berechnen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. VerfahrenswahlErst auf null bringen, dann beispielsweise pq-Formel anwenden.
2. Rechenweg und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{-5,2\}}$
09
Aufgabe 9Quadratische Gleichungen lösen · VertiefenBei $\mathsf{x^2=6x}$ teilt jemand durch x und erhält nur 6. Erkläre den Fehler und bestimme die vollständige Lösungsmenge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler erklären
Vollständige Rechnung und Lösungsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Das Teilen durch x schließt die mögliche Lösung null aus.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-6x=0}$ — 6x abziehen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x(x-6)=0}$ — ausklammern.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=0}$ oder $\mathsf{x-6=0}$ — Nullprodukt.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=6}$ — zur zweiten Gleichung 6 addieren.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fehler erklärenDurch x darf nicht ohne Fallunterscheidung geteilt werden. Die Lösung null geht verloren.
2. Vollständige Rechnung und Lösungsmenge $\mathsf{L=\{0,6\}}$
10
Aufgabe 10Quadratische Gleichungen lösen · VertiefenEin Rechteck ist 2 cm länger als breit und hat 15 cm² Fläche. Die Breite heißt x. Stelle die Gleichung auf und berechne beide Seitenlängen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gleichung
Rechenweg und zulässige Breite
Länge und Flächenprobe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x(x+2)=15}$ — Breite mal Länge ergibt die Fläche.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+2x=15}$ — ausmultiplizieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2+2x-15=0}$ — 15 abziehen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(x+5)(x-3)=0}$ — faktorisieren.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+5=0}$ oder $\mathsf{x-3=0}$ — Nullprodukt.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=-5}$ — in der ersten Gleichung 5 abziehen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x=3}$ — zur zweiten Gleichung 3 addieren.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Breite ist positiv, daher ist minus 5 unzulässig.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x+2=5}$ — Länge berechnen.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot5=15}$ — Fläche prüfen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gleichung $\mathsf{x(x+2)=15}$
2. Rechenweg und zulässige BreiteBreite 3 cm. Die negative rechnerische Lösung ist keine Länge.
3. Länge und FlächenprobeLänge 5 cm. $\mathsf{3\cdot5=15}$ bestätigt die Fläche von 15 cm².

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