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Rechteck und Quadrat · Erklären & üben

Quadrat

Beim Quadrat sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel recht. Diese Eigenschaften helfen dir beim Zeichnen, Messen und Untersuchen seiner Symmetrie.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleich lang und rechtwinklig

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Es ist damit sowohl ein Rechteck als auch eine Raute. Vier gleich lange Seiten allein reichen nicht: Eine Raute muss keine rechten Winkel haben.

  1. Prüfe alle Seitenlängen.

  2. Prüfe die vier rechten Winkel.

AB=BC=CD=DA\mathsf{AB=BC=CD=DA}

Quadrat ABCD: alle vier Seiten 4 cm, rechter Winkel markiert.

So geht es am Beispiel

Ein Viereck hat vier Seiten von 4 cm und vier rechte Winkel. Ordne es ein.

Alle Seiten sind gleich lang.

Alle Winkel sind recht. Damit sind beide Quadratbedingungen erfüllt.

Ergebnis

Es ist ein Quadrat und damit auch ein Rechteck und eine Raute.

Erklärung 02

Rand und Fläche

Für den Umfang zählst du vier gleiche Seiten. Für die Fläche zählst du gleich viele Reihen wie Spalten.

  1. Verwende die gegebene Seitenlänge.

  2. Unterscheide Länge und Quadrateinheit im Ergebnis.

U=4a,A=a2\mathsf{U=4a,\qquad A=a^2}

Quadrat mit 25 Einheitsquadraten, Seite 5 cm.

So geht es am Beispiel

Ein Quadrat hat Seitenlänge 5 cm. Berechne Umfang und Fläche.

Vier Seiten ergeben den Umfang.

U=4⋅5=20 cm\mathsf{U=4\cdot5=20\,\mathsf{cm}}

Seite mal Seite ergibt die Fläche.

A=5⋅5=25 cm2\mathsf{A=5\cdot5=25\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

U=20 cm,A=25 cm2\mathsf{U=20\,\mathsf{cm},\quad A=25\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 03

Achsen und Kreise

Ein Quadrat besitzt vier Spiegelachsen: die beiden Diagonalen und die beiden Geraden durch gegenüberliegende Seitenmitten. Seine Diagonalen sind gleich lang, stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander. Der Inkreis berührt die vier Seiten; der Umkreis geht durch die vier Ecken. Beide Mittelpunkte liegen im Diagonalenschnittpunkt.

  1. Unterscheide Berührpunkte an Seiten und Eckpunkte.

  2. Für den Inkreis halbiere die Seite; für den Umkreis halbiere die Diagonale.

r=a2,R=d2\mathsf{r=\frac{a}{2},\qquad R=\frac{d}{2}}

Quadrat mit Inkreis und gestricheltem Umkreis; Radien als halbe Seite beziehungsweise halbe Diagonale.

So geht es am Beispiel

Ein Quadrat hat Seite 6 cm und Diagonale 62 cm\mathsf{6\sqrt{2}\,\mathsf{cm}}. Bestimme die beiden Kreisradien.

Der Inkreisradius ist die halbe Seite.

r=6:2=3 cm\mathsf{r=6:2=3\,\mathsf{cm}}

Der Umkreisradius ist die halbe Diagonale.

R=32 cm≈4,24 cm\mathsf{R=3\sqrt{2}\,\mathsf{cm}\approx4{,}24\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

r=3 cm,R≈4,24 cm\mathsf{r=3\,\mathsf{cm},\quad R\approx4{,}24\,\mathsf{cm}}

Erklärung 04

Optional: Quadrat im Raum nachweisen

Optionale Vertiefung. Du brauchst dreidimensionale Koordinaten, Vektorlängen und das Skalarprodukt. Wähle zwei nicht parallele benachbarte Kantenvektoren u und v. Gilt C = A + u + v, liegen die vier Punkte in der Ebene durch A, u und v und bilden in der Reihenfolge A–B–C–D ein Parallelogramm. Das Skalarprodukt null liefert einen rechten Winkel und damit ein Rechteck. Sind außerdem die Nachbarlängen gleich, ist es ein Quadrat.

  1. Berechne u = B − A und v = D − A. Prüfe C − D = u und C − B = v.

  2. Prüfe u und v auf Länge größer null und berechne ihr Skalarprodukt.

  3. Vergleiche die beiden quadrierten Längen.

C=A+u⃗+v⃗,u⃗⋅v⃗=0,∥u⃗∥=∥v⃗∥\mathsf{C=A+\vec u+\vec v,\qquad\vec u\cdot\vec v=0,\qquad\lVert\vec u\rVert=\lVert\vec v\rVert}

Affine Parallelprojektion der angegebenen3D-Punkte in EckreihenfolgeABCD; räumliche Winkel werden rechnerisch nachgewiesen.

So geht es am Beispiel

Gegeben sind A(1,1,1), B(3,2,3), C(5,0,2) und D(3,-1,0). Weise in dieser Eckreihenfolge ein Quadrat nach. Alle Koordinaten nutzen dieselbe Längeneinheit.

Die benachbarten Kanten sind von null verschieden.

u⃗=B−A=(2,1,2),v⃗=D−A=(2,−2,−1)\mathsf{\vec u=B-A=(2,1,2),\qquad\vec v=D-A=(2,-2,-1)}
C−D=u⃗,C−B=v⃗\mathsf{C-D=\vec u,\qquad C-B=\vec v}

Gegenüberliegende Kanten sind gleich und parallel. C = A + u + v sichert die gemeinsame Ebene und die nicht gekreuzte Eckreihenfolge.

u⃗⋅v⃗=2⋅2+1⋅(−2)+2⋅(−1)=0\mathsf{\vec u\cdot\vec v=2\cdot2+1\cdot(-2)+2\cdot(-1)=0}
∥u⃗∥2=9,∥v⃗∥2=9\mathsf{\lVert\vec u\rVert^2=9,\qquad\lVert\vec v\rVert^2=9}

Die beiden Kanten sind orthogonal und nicht null, also unabhängig. Das Parallelogramm ist ein Rechteck. Beide Nachbarseiten haben Länge3; damit ist es ein Quadrat.

Ergebnis

ABCD ist ein Quadrat.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Quadrat · basisEin Viereck hat vier gleich lange Seiten, aber einen Winkel von 70°. Ist es ein Quadrat? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ein Quadrat braucht vier rechte Winkel.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      70° ist kein rechter Winkel.

    Ergebnis

    1. BegründungNein. Gleiche Seiten allein reichen nicht; der Winkel müsste 90° betragen.
  2. Aufgabe 2Quadrat · basisBerechne Umfang und Fläche eines Quadrats mit Seite 7 cm.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Berechne viermal die Seite.

      U=4⋅7=28 cm\mathsf{U=4\cdot7=28\,\mathsf{cm}}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Quadriere die Seite.

      A=72=49 cm2\mathsf{A=7^2=49\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. UmfangU=28 cm\mathsf{U=28\,\mathsf{cm}}
    2. FlächeninhaltA=49 cm2\mathsf{A=49\,\mathsf{cm}^2}
  3. Aufgabe 3Quadrat · mittelEin Quadrat hat Umfang 36 cm. Bestimme Seitenlänge und Fläche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Teile den Umfang durch vier.

      a=36:4=9 cm\mathsf{a=36:4=9\,\mathsf{cm}}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Multipliziere die Seite mit sich selbst.

      A=92=81 cm2\mathsf{A=9^2=81\,\mathsf{cm}^2}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Seitenlängea=9 cm\mathsf{a=9\,\mathsf{cm}}
    2. FlächeninhaltA=81 cm2\mathsf{A=81\,\mathsf{cm}^2}
  4. Aufgabe 4Quadrat · mittelZeichne ab A ein Quadrat: 4 Kästchen nach rechts und 4 nach oben. Beschrifte ABCD gegen den Uhrzeigersinn, markiere einen rechten Winkel und zeichne beide Diagonalen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Zeichnung

    Leere Zeichenvorlage mit Startpunkt A, ein Kästchen entspricht 1 cm.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Setze B vier Kästchen rechts von A.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Setze C vier Kästchen über B und D vier über A.

    3. Schritt 3 · Erklärung

      Verbinde die Randpunkte und die gegenüberliegenden Ecken; markiere einen rechten Winkel.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. ZeichnungBeschriftete Konstruktion auf der Vorlage; siehe geschützte Musterzeichnung.
    2. Kontrolle der ZeichnungAlle Seiten sind 4 cm lang. Die Diagonalen schneiden sich senkrecht im Mittelpunkt.
  5. Aufgabe 5Quadrat · transferEin Quadrat hat Seitenlänge 10 cm. Wie groß ist der Inkreisradius? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Vom Mittelpunkt zur Seite ist es halb so weit wie zwischen zwei gegenüberliegenden Seiten.

      r=10:2=5 cm\mathsf{r=10:2=5\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDer Inkreisradius ist 5 cm.
  6. Aufgabe 6Quadrat · transferErkläre: Jedes Quadrat ist ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat. Nenne ein Gegenbeispiel für die umgekehrte Aussage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ein Quadrat hat vier rechte Winkel und erfüllt damit die Rechteckdefinition.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Ein Rechteck muss keine vier gleich langen Seiten haben.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. ErklärungJedes Quadrat hat vier rechte Winkel und erfüllt die Rechteckdefinition. Ein Rechteck muss keine vier gleich langen Seiten haben.
    2. GegenbeispielEin Rechteck mit Seiten 6 cm und 2 cm ist kein Quadrat.
  7. Aufgabe 7Quadrat · Optionale VertiefungOptionale Vektoraufgabe. Gegeben sind A(-1,2,0), B(0,4,2), C(2,5,0) und D(1,3,-2). Weise ein Quadrat in der Reihenfolge A–B–C–D nach. Prüfe Gegenkanten und Ebene, Skalarprodukt sowie gleiche Nachbarlängen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Tipp anzeigen

    Voraussetzung: Vektoren und Skalarprodukt im Raum.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      u⃗=B−A=(1,2,2),v⃗=D−A=(2,1,−2)\mathsf{\vec u=B-A=(1,2,2),\qquad\vec v=D-A=(2,1,-2)}
      C−D=u⃗,C−B=v⃗\mathsf{C-D=\vec u,\qquad C-B=\vec v}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Damit gilt C = A + u + v. Alle Punkte sind koplanar und ABCD ist ein Parallelogramm.

      u⃗⋅v⃗=1⋅2+2⋅1+2⋅(−2)=0\mathsf{\vec u\cdot\vec v=1\cdot2+2\cdot1+2\cdot(-2)=0}
      ∥u⃗∥2=9,∥v⃗∥2=9\mathsf{\lVert\vec u\rVert^2=9,\qquad\lVert\vec v\rVert^2=9}
    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Beide Kanten sind nicht null und orthogonal; daher liegen vier rechte Winkel vor. Die beiden quadrierten Längen sind gleich9. Also ist ABCD ein Quadrat.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Gegenkanten und EbeneC−D=u und C−B=v; C=A+u+v; koplanares Parallelogramm
    2. Skalarprodukt und FolgerungSkalarprodukt0 bei nicht verschwindenden Kanten; Rechteck
    3. Nachbarlängen und QuadratnachweisBeide quadrierten Längen9; Quadrat

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich erkenne ein Quadrat an Seiten und Winkeln.
  • Ich berechne Umfang und Fläche eines Quadrats.
  • Ich unterscheide Spiegelachsen, Inkreis und Umkreis.

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