Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Erklärung 01

Gruppen müssen eine Zerlegung bilden

1. 1

   Prüfe: Keine Überlappung und keine fehlende Gruppe.

2. 2

   Prüfe: Die Gruppenanteile ergeben zusammen eins.

$\mathsf{P(E)=\sum_{i=1}^{k}P(G_i)P(E\mid G_i)}$

Erklärung 02

Passende Pfade addieren

1. 1

   Multipliziere entlang jedes passenden Pfads.

2. 2

   Addiere die Pfadprodukte; addiere nicht die ungewichteten Zweigwerte.

$\mathsf{P(E)=P(G)P(E\mid G)+P(\overline G)P(E\mid\overline G)}$

Erklärung 03

Gesamtanteil und umgekehrte Frage

1. 1

   Berechne zuerst E insgesamt mit der totalen Wahrscheinlichkeit.

2. 2

   Wähle dann den gesuchten Gruppenbeitrag als Zähler.

$\mathsf{P(G\mid E)=\frac{P(G)P(E\mid G)}{P(E)},\quad P(E)>0}$

1. 01
   Aufgabe 1Satz der totalen Wahrscheinlichkeit · basisEine Gruppe wird in 30 Prozent G und 70 Prozent nicht G eingeteilt. Sind diese Anteile eine vollständige Aufteilung, wenn G und nicht G Gegenereignisse sind? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      G und sein Gegenereignis sind disjunkt und decken alle Fälle ab.

      $$\mathsf{0{,}3+0{,}7=1}$$

   Ergebnis

   1. Begründung
      Ja. Die Gruppen überschneiden sich nicht und ihre Anteile ergeben zusammen eins.
2. 02
   Aufgabe 2Satz der totalen Wahrscheinlichkeit · basis40 Prozent der Lieferungen kommen von X, 60 Prozent von Y. Pünktlich sind 90 Prozent der X-Lieferungen und 80 Prozent der Y-Lieferungen. Berechne die gesamte Pünktlichkeitswahrscheinlichkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gesamtwahrscheinlichkeit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      X-Beitrag:

      $$\mathsf{0{,}4\cdot0{,}9=0{,}36}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Y-Beitrag:

      $$\mathsf{0{,}6\cdot0{,}8=0{,}48}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Gesamt:

      $$\mathsf{P(E)=0{,}36+0{,}48=0{,}84}$$

   Ergebnis

   1. Gesamtwahrscheinlichkeit
      $\mathsf{P(E)=84\,\%}$
3. 03
   Aufgabe 3Satz der totalen Wahrscheinlichkeit · sichernDrei disjunkte, vollständige Gruppen haben Anteile 0,2; 0,3; 0,5. Ihre Trefferwahrscheinlichkeiten sind 0,1; 0,4; 0,8. Berechne die gesamte Trefferwahrscheinlichkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gesamtwahrscheinlichkeit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Multipliziere jeden Gruppenanteil mit seinem Trefferanteil.

      $$\mathsf{0{,}2\cdot0{,}1=0{,}02}$$

      $$\mathsf{0{,}3\cdot0{,}4=0{,}12}$$

      $$\mathsf{0{,}5\cdot0{,}8=0{,}40}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Addiere die drei Beiträge.

      $$\mathsf{P(E)=0{,}02+0{,}12+0{,}40=0{,}54}$$

   Ergebnis

   1. Gesamtwahrscheinlichkeit
      $\mathsf{P(E)=54\,\%}$
4. 04
   Aufgabe 4Satz der totalen Wahrscheinlichkeit · anwendenErgänze den Baum: G hat Anteil 0,25. E tritt innerhalb von G mit Wahrscheinlichkeit 0,8 auf, außerhalb mit 0,4. Trage alle sechs Zweigwerte ein und berechne E insgesamt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Zeichnung

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Zeichnung

   Gesamtwahrscheinlichkeit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Gegenanteil:

      $$\mathsf{1-0{,}25=0{,}75}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Gegenereigniszweige: 0,2 unter G; 0,6 unter nicht G.

   3. Schritt 3 · Erklärung

      Gewichte beide E-Zweige.

      $$\mathsf{P(E)=0{,}25\cdot0{,}8+0{,}75\cdot0{,}4=0{,}5}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Zeichnung
      Siehe die exakt passende geschützte Musterzeichnung.
   2. Gesamtwahrscheinlichkeit
      $\mathsf{P(E)=0{,}5}$
5. 05
   Aufgabe 5Satz der totalen Wahrscheinlichkeit · vertiefenDie Gruppen G und H überlappen. Jemand addiert P(G) mal P(E unter G) und P(H) mal P(E unter H) und nennt das P(E). Erkläre, warum diese Rechnung ohne weitere Angaben nicht zulässig ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Begründung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      E-Fälle in der Überlappung können zweimal gezählt werden.

   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Außerhalb von G und H könnten weitere E-Fälle liegen.

   Ergebnis

   1. Begründung
      G und H bilden keine nachgewiesene disjunkte, vollständige Zerlegung. Die Rechnung kann Fälle doppelt zählen oder auslassen.
6. 06
   Aufgabe 6Satz der totalen Wahrscheinlichkeit · transfer10 Prozent der Teile stammen von X und 90 Prozent von Y. Der Fehleranteil beträgt bei X 20 Prozent und bei Y 2 Prozent. Berechne den Gesamtfehleranteil und erkläre, warum das einfache Mittel 11 Prozent falsch ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gesamtfehleranteil

   Erklärung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      X-Beitrag:

      $$\mathsf{0{,}1\cdot0{,}2=0{,}02}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Y-Beitrag:

      $$\mathsf{0{,}9\cdot0{,}02=0{,}018}$$
   3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Gesamt:

      $$\mathsf{P(F)=0{,}02+0{,}018=0{,}038}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Gesamtfehleranteil
      $\mathsf{3{,}8\,\%}$
   2. Erklärung
      Die beiden Quellen sind verschieden groß. Das einfache Mittel gewichtet sie fälschlich gleich.