Mathematik entdecken · Erklären & üben

Schwere Matheaufgaben

Schwierige Aufgaben werden übersichtlicher, wenn du Beziehungen aufschreibst und kleine Schritte prüfst. Die ersten Aufgaben nutzen Schulmathematik. Kuben und harmonische Reihe sind begrenzte Vertiefungen mit zusätzlichen Voraussetzungen; die Eulersche Identität erscheint nur als Weiterlernverweis. Lernziele: rückwärts rechnen, Fälle vollständig prüfen, Summen geschickt ordnen und die Aussage einer anspruchsvollen Formel erklären.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Rückwärts denken und Fälle prüfen

Bei einer Rechenkette hilft Rückwärtsrechnen: Mache die letzte Handlung zuerst rückgängig. Bei wenigen Möglichkeiten kannst du systematisch alle Fälle prüfen. Ein gefundenes Beispiel ist noch kein Beweis für alle Fälle.

Notiere die Reihenfolge der Handlungen.
Kehre Reihenfolge und Rechenarten um.
Prüfe das Ergebnis in der ursprünglichen Aufgabe.

Ein vollständiger Lösungsweg erklärt auch, warum kein zulässiger Fall fehlt.

So geht es am Beispiel

Eine Zahl wird verdreifacht, danach werden 5 addiert. Das Ergebnis ist 26.

Letzte Addition rückgängig machen: $\mathsf{26-5=21}$

Verdreifachung rückgängig machen: $\mathsf{21:3=7}$

Probe: $\mathsf{3\cdot7+5=26}$

So geht es am Beispiel

Zwei verschiedene positive ganze Zahlen haben Summe 9. Gesucht ist das größte Produkt.

Die ungeordneten Paare sind $\mathsf{(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)}$

Ihre Produkte sind $\mathsf{8,14,18,20}$

Nach dem Paar 4 und 5 würden sich nur die Reihenfolgen wiederholen.

Erklärung 02

Summen mit Struktur

In einer aufsteigenden Zahlenfolge kannst du kleine und große Zahlen zu gleich großen Paaren zusammenfassen. Zähle anschließend die Paare sorgfältig.

Verbinde die erste Zahl mit der letzten.
Prüfe, ob alle Paare dieselbe Summe haben.
Zähle die Paare; bei ungerader Anzahl bleibt eine Mitte.

Umordnen verändert bei einer endlichen Summe den Wert nicht.

Sechs Spalten zeigen Paare 1 und 12 bis 6 und 7.

So geht es am Beispiel

Berechne die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 12.

Jedes Randpaar hat Summe $\mathsf{1+12=13}$

Zwölf Zahlen bilden $\mathsf{12:2=6}$ Paare.

Gesamtsumme: $\mathsf{6\cdot13=78}$

Erklärung 03

Vertiefung: drei Kuben

Voraussetzungen: negative ganze Zahlen und dritte Potenzen. Bei einer diophantischen Gleichung werden ganzzahlige Lösungen gesucht. Für $\mathsf{x^3+y^3+z^3=42}$ ist eine Lösung seit 2019 bekannt. Große Sucharbeit und die spätere Überprüfung sind verschiedene Aufgaben. Ein erfolgloser Versuch mit kleinen Zahlen beweist keine Unlösbarkeit.

Berechne die dritte Potenz jeder eingesetzten Zahl mit Vorzeichen.
Addiere exakt und vergleiche mit der rechten Seite.

Eine eingesetzte Zahlengruppe ist erst nach der Probe eine bestätigte Lösung.

So geht es am Beispiel

Prüfe für die rechte Seite 7 die Werte 2, −1 und 0.

Die erste Zahl wird dreimal als Faktor verwendet: $\mathsf{2^3=8}$

Bei der negativen Zahl bleibt das Vorzeichen negativ: $\mathsf{(-1)^3=-1}$

Der dritte Beitrag ist null: $\mathsf{0^3=0}$

Addiere die drei Beiträge: $\mathsf{8-1+0=7}$

So geht es am Beispiel

Dokumentierter Einblick für 42; keine Handrechenaufgabe. Setze die folgenden drei ganzen Zahlen ein.

\mathsf{x=-80538738812075974}

\mathsf{y=80435758145817515}

\mathsf{z=12602123297335631}

Die exakte Ganzzahlprobe ergibt $\mathsf{x^3+y^3+z^3=42}$

Erklärung 04

Weiterlernen: Eulersche Identität

Die Eulersche Identität verbindet die Exponentialfunktion mit komplexen Zahlen. Um ihre Bedeutung und Herleitung zu verstehen, brauchst du komplexe Zahlen sowie Sinus und Kosinus. Dieses Heft verweist auf ein späteres Thema und behandelt dazu keine Rechenaufgabe.

Erklärung 05

Vertiefung: harmonische Reihe

Voraussetzungen: Brüche, Ungleichungen und die Idee einer unendlichen Folge. Die harmonische Reihe beginnt mit $\mathsf{1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots}$ . Ihre Teilsummen wachsen ohne obere Grenze, obwohl die einzelnen Summanden gegen null gehen. Das Wort divergent bezeichnet hier dieses unbegrenzte Wachstum.

Bilde nach dem ersten Summanden Gruppen mit 1, 2, 4, 8 und immer doppelt so vielen Summanden.
Ersetze in jeder Gruppe alle Summanden durch den kleinsten der Gruppe.
Jede solche Gruppe trägt mindestens eine Hälfte bei.

Kleine Summanden allein garantieren keine endliche Gesamtsumme.

Gruppen der harmonischen Reihe: ein, zwei und vier Summanden, jeweils mindestens eine Hälfte.

So geht es am Beispiel

Begründe, warum die Gruppe von einem Fünftel bis zu einem Achtel mindestens eine Hälfte ergibt.

Jeder der vier Summanden ist mindestens $\mathsf{\frac18}$

Daher gilt $\mathsf{\frac15+\frac16+\frac17+\frac18\geq4\cdot\frac18=\frac12}$

Nach demselben Muster liefern unendlich viele Gruppen jeweils mindestens eine Hälfte; jede feste Schranke wird irgendwann überschritten.

Erklärung 06

Zusammenfassung und Weiterlernen

Ein schwer aussehender Ausdruck kann mit einer passenden Darstellung verständlich werden. Nicht jede offene Suchfrage ist unlösbar; nicht jede erkannte Regel ist bewiesen. Weiterlernen: Rechengesetze erklären das erlaubte Umordnen und Zusammenfassen endlicher Rechnungen.

Prüfe Vorzeichen und Voraussetzungen.
Trenne Beispiel, Vermutung und Begründung.

Eine gute Lösung nennt ihren Geltungsbereich.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Schwere Matheaufgaben · BasisEine Zahl wird verdoppelt, dann werden 7 addiert. Es entsteht 25. Bestimme die Zahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Addition rückgängig: $\mathsf{25-7=18}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Verdopplung rückgängig: $\mathsf{18:2=9}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Probe: $\mathsf{2\cdot9+7=25}$
Ergebnis
1. Zahl9
02
Aufgabe 2Schwere Matheaufgaben · AufbauZwei verschiedene positive ganze Zahlen haben Summe 11. Bestimme alle ungeordneten Paare und das größte Produkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Paare
Größtes Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Paare: $\mathsf{(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6)}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Produkte: $\mathsf{10,18,24,28,30}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Weitere Paare wiederholen diese mit vertauschter Reihenfolge.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Paare(1,10), (2,9), (3,8), (4,7), (5,6)
2. Größtes Produkt30 bei 5 und 6
03
Aufgabe 3Schwere Matheaufgaben · AufbauBerechne die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 20 mithilfe von Paaren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Summe
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Randpaar: $\mathsf{1+20=21}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Es gibt $\mathsf{20:2=10}$ Paare.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Summe: $\mathsf{10\cdot21=210}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Summe210
2. BegründungEs gibt zehn Paare mit jeweils Summe 21.
04
Aufgabe 4Schwere Matheaufgaben · AufbauVier Personen geben einander jeweils genau einmal die Hand. Zeichne in die Vorlage eine Verbindung für jeden Handschlag und gib die Anzahl im Feld an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl der Handschläge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Von A gehen drei Verbindungen aus.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Von B kommen zwei neue hinzu, von C noch eine.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die vollständige Paarliste lautet AB, AC, AD, BC, BD und CD.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Anzahl: $\mathsf{3+2+1=6}$
Ergebnis
1. Anzahl der Handschläge6
05
Aufgabe 5Schwere Matheaufgaben · VertiefungPrüfe, ob 3, −2 und 1 eine Lösung von $\mathsf{x^3+y^3+z^3=20}$ bilden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Probe
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Berechne die erste dritte Potenz: $\mathsf{3^3=27}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Eine ungerade Potenz der negativen Zahl bleibt negativ: $\mathsf{(-2)^3=-8}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Berechne den dritten Beitrag: $\mathsf{1^3=1}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addiere und vergleiche mit der rechten Seite: $\mathsf{27-8+1=20}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Probe $\mathsf{27-8+1=20}$
2. UrteilJa, das Tripel ist eine Lösung.
06
Aufgabe 6Schwere Matheaufgaben · VertiefungJemand testet alle Tripel mit Werten von −5 bis 5 für die rechte Seite 42 und findet keines. Darf daraus „keine ganzzahlige Lösung“ folgen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Suche umfasst nur einen endlichen Teil aller ganzen Zahlen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Außerhalb dieses Bereichs können Lösungen liegen; der Erklärabschnitt nennt eine bestätigte Lösung.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungEine begrenzte Suche schließt nur Lösungen im geprüften Bereich aus.
07
Aufgabe 7Schwere Matheaufgaben · VertiefungBerechne die vierte Teilsumme der harmonischen Reihe exakt als Bruch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vierte Teilsumme
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Schreibe die ganze Zahl als Zwölftel: $\mathsf{1=\frac{12}{12}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erweitere die Hälfte mit sechs: $\mathsf{\frac12=\frac6{12}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Erweitere das Drittel mit vier: $\mathsf{\frac13=\frac4{12}}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Erweitere das Viertel mit drei: $\mathsf{\frac14=\frac3{12}}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Addiere die Zähler bei gleichem Nenner: $\mathsf{S_4=\frac{12+6+4+3}{12}=\frac{25}{12}}$
Ergebnis
1. Vierte Teilsumme $\mathsf{\frac{25}{12}}$
08
Aufgabe 8Schwere Matheaufgaben · VertiefungDie nächste Gruppe der harmonischen Reihe reicht von einem Neuntel bis zu einem Sechzehntel. Zeige eine untere Schranke und erkläre, warum immer kleinere Summanden kein Beweis für eine endliche Summe sind.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Untere Schranke
Erklärung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Es sind acht Summanden, jeder mindestens $\mathsf{\frac1{16}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Gruppensumme mindestens $\mathsf{8\cdot\frac1{16}=\frac12}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es folgen unendlich viele weitere Gruppen mit mindestens einer Hälfte; ihre Beiträge summieren sich unbegrenzt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Untere Schranke $\mathsf{\frac12}$
2. ErklärungDie Gruppen liefern dauerhaft mindestens eine Hälfte. Deshalb wachsen die Teilsummen trotz kleinerer Einzelbeiträge ohne obere Grenze.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann eine Rechenkette rückwärts lösen.
Ich kann eine endliche Fallliste auf Vollständigkeit prüfen.
Ich unterscheide begrenzte Suche und allgemeinen Beweis.
Ich kann die Grenzen einer vereinfachten Vertiefung benennen.

AT Academy · Version 2026-10-21