Stetige Zufallsvariablen

Erklärung 01

Stetiges Modell und Messung

1. 1

   Benenne Größe und Einheit.

2. 2

   Unterscheide exakten Wert und gerundete Anzeige.

3. 3

   Formuliere Ereignisse als Intervalle.

$\mathsf{P(X=x)=0}$

Erklärung 02

Wahrscheinlichkeit ist Fläche

1. 1

   Bestimme die Breite des gesamten Bereichs.

2. 2

   Berechne die Dichtehöhe.

3. 3

   Multipliziere die Breite des gesuchten Intervalls mit der Höhe.

$\mathsf{P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)\,dx}$

Erklärung 03

Intervallgrenzen und Gegenereignisse

1. 1

   Prüfe, ob das Modell stetig ist.

2. 2

   Ergänze bei Bedarf auf die Gesamtfläche 1.

$\mathsf{P(a<X<b)=P(a\leq X\leq b)}$

1. 01
   Aufgabe 1Stetige Zufallsvariablen · EinstiegOrdne zu: Anzahl von Anrufen in einer Stunde und ungerundete Dauer eines Anrufs im stetigen Modell. Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Anzahl

   Dauer
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Eine Anzahl besteht aus einzelnen ganzen Zahlen.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      Die Dauer kann im Modell jeden Wert eines Zeitintervalls annehmen.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Anzahl
      Diskret, weil nur ganze Anzahlen möglich sind.
   2. Dauer
      Stetig im angegebenen Modell.
2. 02
   Aufgabe 2Stetige Zufallsvariablen · EinstiegX ist gleichverteilt zwischen 0 und 12 Minuten. Bestimme die Dichtehöhe und die Wahrscheinlichkeit für 3 bis 7 Minuten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Dichtehöhe

   Wahrscheinlichkeit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{h=\frac1{12}}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Das Intervall ist 4 Minuten breit.

      $$\mathsf{P(3\leq X\leq7)=4\cdot\frac1{12}=\frac13}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Dichtehöhe
      $\mathsf{\frac1{12}\,\mathsf{min}^{-1}}$
   2. Wahrscheinlichkeit
      $\mathsf{\frac13}$
3. 03
   Aufgabe 3Stetige Zufallsvariablen · ÜbungX ist gleichverteilt zwischen 0 und 6 Minuten. Zeichne die Dichte in die Vorlage und schraffiere den Bereich von 1 bis 4 Minuten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Dichte und Ereignisfläche

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Dichte und Ereignisfläche
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Höhe muss mit der Breite 6 die Fläche 1 bilden.

      $$\mathsf{f(x)=\frac16\quad(0\leq x\leq6)}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Außerhalb dieses Bereichs ist die Dichte 0. Schraffiert wird die Fläche zwischen 1 und 4.

   Ergebnis

   1. Dichte und Ereignisfläche
      Rechteckhöhe 1/6 pro Minute von 0 bis 6; Schraffur 1 bis 4.
4. 04
   Aufgabe 4Stetige Zufallsvariablen · ÜbungFür X gleichverteilt zwischen 0 und 12 Minuten vergleiche: exakt 4 Minuten und eine auf volle Minuten gerundete Anzeige von 4 Minuten. Es wird kaufmännisch gerundet.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Exakt 4 Minuten

   Anzeige 4 Minuten
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ein einzelner Wert hat Fläche 0.

      $$\mathsf{P(X=4)=0}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Anzeige 4 steht für das Intervall ab 3,5 bis unter 4,5 Minuten.

      $$\mathsf{P(3{,}5\leq X<4{,}5)=1\cdot\frac1{12}=\frac1{12}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Exakt 4 Minuten
      $\mathsf{0}$
   2. Anzeige 4 Minuten
      $\mathsf{\frac1{12}}$
5. 05
   Aufgabe 5Stetige Zufallsvariablen · TransferX ist gleichverteilt zwischen 2 und 10 Sekunden. Berechne die Wahrscheinlichkeit für mehr als 7 Sekunden und vergleiche sie mit „mindestens 7 Sekunden“.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Mehr als 7 Sekunden

   Mindestens 7 Sekunden
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Das Gesamtintervall ist 8 Sekunden breit; über 7 bleiben 3 Sekunden.

      $$\mathsf{P(X>7)=\frac38}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der zusätzliche Einzelpunkt 7 besitzt Wahrscheinlichkeit 0.

      $$\mathsf{P(X\geq7)=\frac38}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Mehr als 7 Sekunden
      $\mathsf{\frac38}$
   2. Mindestens 7 Sekunden
      $\mathsf{\frac38}$
6. 06
   Aufgabe 6Stetige Zufallsvariablen · TransferX ist gleichverteilt zwischen 0 und 0,4 Sekunden. Mila sagt: „Die Dichte ist 2,5. Das ist unmöglich, weil Wahrscheinlichkeiten höchstens 1 sind.“ Beurteile und berechne die Chance für die ersten 0,1 Sekunden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Beurteilung

   Erste 0,1 Sekunden
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung
      $$\mathsf{f(x)=\frac1{0{,}4}=2{,}5}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Eine Dichte darf größer als 1 sein. Erst die Fläche ist eine Wahrscheinlichkeit.

      $$\mathsf{P(0\leq X\leq0{,}1)=0{,}1\cdot2{,}5=0{,}25}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Beurteilung
      Falsch: Dichte und Wahrscheinlichkeit sind verschieden; die Gesamtfläche bleibt 1.
   2. Erste 0,1 Sekunden
      $\mathsf{25\%}$