Mathematik entdecken · Erklären & üben

Zahlen

Zahlen helfen dir, Anzahlen, Reihenfolgen und Messwerte anzugeben. Eine Hausnummer dient dagegen vor allem als Kennzeichnung. Für unterschiedliche Aufgaben brauchst du unterschiedliche Arten von Zahlen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Was eine Zahl aussagt

Bei „acht Stifte“ nennt 8 eine Anzahl. „Dritter Platz“ nennt einen Rang. Bei „2,5 Meter“ gehört die Zahl zu einer Maßeinheit. Eine Nummer kann auch nur ein Schild oder eine Kennung sein.

Die Zahl ist der Wert; Ziffern sind die Zeichen ihrer Schreibweise. 12 und XII können denselben Wert darstellen.

Lies die Situation mit.
Frage nach Anzahl, Rang, Messwert oder Kennzeichnung.

Der Zusammenhang bestimmt die Bedeutung einer Zahl.

So geht es am Beispiel

Deute „Bus 12“ und „12 Fahrgäste“.

Die Busnummer kennzeichnet eine Linie.

Die Fahrgastzahl zählt Personen.

Erklärung 02

Zahlenmengen im Überblick

Hier zählen wir 0 zu den natürlichen Zahlen. Ganze Zahlen schließen zusätzlich negative ganze Zahlen ein. Rationale Zahlen lassen sich als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben; der Nenner darf nicht null sein.

Reelle Zahlen umfassen rationale und irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen lassen sich nicht als solcher Bruch schreiben. Ihre Dezimaldarstellung endet nicht und wird nicht periodisch. Eine Näherung ist nicht der exakte Wert.

Es gilt $\mathsf{\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}}$ . Eine natürliche Zahl gehört damit auch zu den drei größeren Mengen. Das Bestandsmaterial Zahlenmengen führt diese Einordnung weiter aus.

Prüfe zuerst die natürlichen Zahlen.
Prüfe danach ganze Zahlen und die Bruchdarstellung.
Nenne bei Bedarf die kleinste passende Menge.

Eine Zahl kann zu mehreren Zahlenmengen gehören.

Zahlengerade von minus drei bis drei mit dem zusätzlichen Punkt minus 1,5 genau in der Mitte zwischen minus zwei und minus eins.

Aufsteigende Erweiterung der natürlichen zu ganzen, rationalen und reellen Zahlen; Beispiele und Nullkonvention.

So geht es am Beispiel

Ordne 5, −3, 0,75 und die Quadratwurzel aus 2 in die kleinste der vier Mengen ein.

5 ist eine natürliche Zahl.

−3 ist ganz, aber nicht natürlich.

Es gilt $\mathsf{0{,}75=\frac{3}{4}}$ ; die Zahl ist rational, aber nicht ganz.

Die Zahl $\mathsf{\sqrt{2}}$ ist irrational und gehört zu den reellen Zahlen.

Erklärung 03

Zahlensysteme unterscheiden

Das Dezimalsystem hat die Basis zehn und nutzt die Ziffern 0 bis 9. Im Binärsystem sind nur 0 und 1 erlaubt. Im Hexadezimalsystem stehen nach 9 die Zeichen A bis F für die Werte zehn bis fünfzehn.

Der kleine Index kennzeichnet bei Bedarf die Basis. Römische Zahlen arbeiten mit Zeichenwerten und bestimmten Additions- und Subtraktionsregeln; sie sind kein Stellenwertsystem wie die drei genannten Basissysteme.

Weiterlernen: Dezimalsystem, Dualsystem beziehungsweise Binärzahlen, Hexadezimalsystem und Römische Zahlen behandeln die Verfahren im Detail. Primzahlen untersucht natürliche Zahlen mit genau zwei positiven Teilern.

Lies die angegebene Basis.
Bestimme die Stellenwerte von rechts nach links.
Addiere die Beiträge der besetzten Stellen.

Die Schreibweise allein verrät ohne vereinbarte Basis nicht immer den Zahlenwert.

Eigene Übersicht über vier Darstellungen der Zahl 26 mit Basis- und Stellenwertprinzip.

So geht es am Beispiel

Prüfe die binäre Schreibweise von 26.

In $\mathsf{11010_2}$ sind die Stellen mit den Werten 16, 8 und 2 besetzt.

$\mathsf{16+8+2=26}$

Im Hexadezimalsystem ist $\mathsf{1A_{16}=1\cdot16+10=26}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Zahlen · EinstiegOrdne zu: „6 Äpfel“, „6. Platz“, „6 Liter“ und „Buslinie 6“. Verwende Anzahl, Rang, Messwert und Kennzeichnung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
6 Äpfel
6. Platz
6 Liter
Buslinie 6
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Äpfel werden gezählt.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ein Platz beschreibt eine Reihenfolge.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Liter ist eine Einheit für ein Volumen.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die Buslinie trägt eine Nummer.
Ergebnisse & Teilantworten
1. 6 ÄpfelAnzahl
2. 6. PlatzRang
3. 6 LiterMesswert
4. Buslinie 6Kennzeichnung
02
Aufgabe 2Zahlen · ÜbungOrdne 9, −4 und 1,25 jeweils in die kleinste passende Menge ein: natürliche, ganze, rationale oder reelle Zahlen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
9
−4
1,25
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  9 ist eine nichtnegative ganze Zahl.
2. Schritt 2 · Erklärung
  −4 braucht die Erweiterung zu ganzen Zahlen.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Es gilt $\mathsf{1{,}25=\frac{5}{4}}$ ; die Zahl ist nicht ganz.
Ergebnisse & Teilantworten
1. 9Natürliche Zahlen
2. −4Ganze Zahlen
3. 1,25Rationale Zahlen
03
Aufgabe 3Zahlen · ÜbungErkläre, warum 0 in diesem Material natürlich, ganz, rational und reell ist. Gib einen Bruch für 0 an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Bruchdarstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die verwendete Konvention nimmt 0 in die natürlichen Zahlen auf.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jede natürliche Zahl ist auch ganz, rational und reell.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Als Bruch ist $\mathsf{0=\frac{0}{1}}$ möglich; der Nenner ist nicht null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Begründung0 gehört hier zu den natürlichen Zahlen und damit zu allen übergeordneten Mengen.
2. Bruchdarstellung $\mathsf{\frac{0}{1}}$
04
Aufgabe 4Zahlen · ÜbungOrdne −2, 0,5, −0,5 und 1 von klein nach groß.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Reihenfolge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Negative Zahlen stehen links von positiven Zahlen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  −2 liegt weiter links als −0,5.
3. Schritt 3 · Erklärung
  0,5 liegt zwischen 0 und 1.
Ergebnis
1. Reihenfolge $\mathsf{-2<-0{,}5<0{,}5<1}$
05
Aufgabe 5Zahlen · ÜbungWelche Zeichen sind zulässig? Prüfe 102 im Binärsystem und 2F im Hexadezimalsystem. Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung: 102 binär
Begründung: 102 binär
Entscheidung: 2F hexadezimal
Begründung: 2F hexadezimal
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Binär sind nur 0 und 1 erlaubt.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Hexadezimal sind 0 bis 9 und A bis F erlaubt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Entscheidung: 102 binärNicht zulässig.
2. Begründung: 102 binärDie Ziffer 2 ist im Binärsystem nicht erlaubt; zulässig sind nur 0 und 1.
3. Entscheidung: 2F hexadezimalZulässig.
4. Begründung: 2F hexadezimalHexadezimal sind 0 bis 9 und A bis F erlaubt; F steht für den Wert 15.
06
Aufgabe 6Zahlen · ÜbungBestimme den dezimalen Wert von $\mathsf{101_2}$ und $\mathsf{12_{16}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
101 zur Basis 2
12 zur Basis 16
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die binären Stellenwerte sind 4, 2 und 1: $\mathsf{1\cdot4+0\cdot2+1=5}$ .
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die hexadezimalen Stellenwerte sind 16 und 1: $\mathsf{1\cdot16+2=18}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. 101 zur Basis 2 $\mathsf{5_{10}}$
2. 12 zur Basis 16 $\mathsf{18_{10}}$
07
Aufgabe 7Zahlen · TransferSam behauptet: „Jede nicht endende Dezimalzahl ist irrational.“ Widerlege die Aussage mit einem Beispiel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gegenbeispiel
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Eine periodische Dezimaldarstellung kann als Bruch geschrieben werden.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zum Beispiel ist $\mathsf{0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}}$ rational.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gegenbeispiel $\mathsf{0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}}$
2. BegründungDie Dezimaldarstellung endet nicht, ist aber periodisch und rational.
08
Aufgabe 8Zahlen · TransferAuf zwei Karten steht 10. Eine Karte meint das Dezimalsystem, die andere das Binärsystem. Bestimme beide Werte im Dezimalsystem und erkläre den Unterschied.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dezimal beschriftete Karte
Binär beschriftete Karte
Erklärung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Im Dezimalsystem bedeutet die linke Stelle einen Zehner.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Im Binärsystem bedeutet die linke Stelle einen Zweier.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Dezimal beschriftete Karte10
2. Binär beschriftete Karte2
3. ErklärungDie Stellenwerte hängen von der Basis ab.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich erkenne die Bedeutung einer Zahl im Zusammenhang.
Ich ordne Zahlen in die kleinste passende Menge ein.
Ich unterscheide Zahl und Schreibweise sowie die Basen zehn, zwei und sechzehn.

AT Academy · Version 2026-10-21