AT Academy
Zum Mathematik-Inhalt

Kombinatorik · Erklären & üben

Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge

Beim Ziehen mit Zurücklegen sind Wiederholungen möglich. Ignorierst du anschließend die Reihenfolge, zählst du Multimengen und musst ihre Wahrscheinlichkeiten gesondert prüfen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Auswahl mit Wiederholung

Es gibt n Sorten und k Ziehungen. Die gezogene Kugel wird jedes Mal zurückgelegt und vor der nächsten Ziehung gemischt. Bei ideal gleichmäßiger Auswahl ändern sich die Astchancen nicht.

Ungeordnet bedeutet: AB und BA werden zusammengefasst. AA bleibt ein eigener Fall. Die Anzahl unterschiedlicher Multimengen sagt noch nicht, dass diese gleich wahrscheinlich sind.

  1. Lege fest, welche Sorten unterscheidbar sind.

  2. Fasse Folgen nur zusammen, wenn die Reihenfolge ignoriert wird.

AB∼BA\mathsf{AB\sim BA}

Zwei unabhängige faire Ziehungen: drei Multimengen, aber nicht drei gleich wahrscheinliche Ergebnisse.

So geht es am Beispiel

Ziehe zweimal unabhängig und gleichwahrscheinlich A oder B. Welche ungeordneten Ergebnisse gibt es?

AA, AB und BB sind die drei Multimengen.

AB umfasst zwei geordnete Folgen, die beiden anderen jeweils nur eine.

Ergebnis

Die drei Ergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich.

Erklärung 02

Sterne und Trenner

Eine Multimenge wird durch die Anzahlen jeder Sorte beschrieben. k Sterne stehen für ausgewählte Objekte, n minus 1 Trenner grenzen die Sorten ab. Leere Bereiche bedeuten eine Sorte mit Anzahl 0.

n ist eine positive ganze Zahl, k ist eine nichtnegative ganze Zahl. Die Sorten stehen in fester Reihenfolge.

  1. Schreibe die Sortenanzahlen als Sterneblöcke.

  2. Wähle die Sternpositionen unter allen Stern- und Trennerpositionen.

N=(n+k−1k)\mathsf{N=\binom{n+k-1}{k}}

Zwei Sterne und zwei Trenner codieren alle sechs Multimengen aus drei Sorten.

So geht es am Beispiel

Wähle 3 Kugeln Eis aus 4 Sorten, Wiederholung erlaubt, Reihenfolge egal.

Drei Sterne und drei Trenner bilden sechs Positionen.

N=(63)=20\mathsf{N=\binom63=20}

Ergebnis

20 Sortenzusammenstellungen.

Erklärung 03

Wahrscheinlichkeiten aus Folgen

Bei unabhängigen gleichmäßigen Ziehungen aus n Sorten haben alle geordneten Folgen dieselbe Chance. Die Chance einer Multimenge ist die Summe der Chancen ihrer Folgen.

Geordnete Ziehungen behandelt Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge. Ohne Zurücklegen sind gleiche Objekte nicht erneut wählbar; dafür gilt Ziehen ohne Zurücklegen.

  1. Zähle die Folgen einer Multimenge.

  2. Teile bei gleichwahrscheinlichen Folgen durch die Gesamtzahl aller Folgen.

P(Multimenge)=Anzahl zugeho¨riger Folgennk\mathsf{P(\textsf{Multimenge})=\frac{\textsf{Anzahl zugeh\"origer Folgen}}{n^k}}

So geht es am Beispiel

Ziehe dreimal unabhängig A oder B, beide gleichwahrscheinlich. Wie wahrscheinlich sind genau zwei A und ein B?

Die Folgen sind AAB, ABA und BAA.

P=323=38\mathsf{P=\frac3{2^3}=\frac38}

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 3/8.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge · EinstiegWähle 2 Kugeln Eis aus 4 Sorten. Wiederholung ist erlaubt, Reihenfolge egal. Wie viele Zusammenstellungen gibt es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      N=(4+2−12)=(52)=10\mathsf{N=\binom{4+2-1}{2}=\binom52=10}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Sorten können zweimal oder zusammen mit einer anderen Sorte vorkommen.

    Ergebnis

    1. Zusammenstellungen10\mathsf{10}
  2. Aufgabe 2Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge · EinstiegWie viele ungeordnete Auswahlen von 3 Objekten aus 3 unbegrenzt verfügbaren Sorten gibt es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Drei Sterne und zwei Trenner ergeben fünf Positionen.

      N=(53)=10\mathsf{N=\binom53=10}

    Ergebnis

    1. Auswahlen10\mathsf{10}
  3. Aufgabe 3Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge · AnwendenVervollständige die Tabelle aller ungeordneten Zweierauswahlen aus A, B, C mit Wiederholung. Trage daneben die Zahl der zugehörigen geordneten Folgen ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Auswahlen und Folgenzahlen

    Vorbereitete Tabelle: Zwei Kugeln aus A, B, C; Ungeordnete Auswahl, Zahl geordneter Folgen. Leere Zeilen zum systematischen Eintragen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Gleiche Zeichen liefern eine Folge. Zwei verschiedene Zeichen liefern zwei Reihenfolgen.

    Ergebnis

    1. Auswahlen und FolgenzahlenAA: 1; AB: 2; AC: 2; BB: 1; BC: 2; CC: 1.
  4. Aufgabe 4Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge · AnwendenA, B, C werden bei jeder von zwei unabhängigen Ziehungen gleichwahrscheinlich gewählt. Berechne getrennt die Chance für AA und für eine A- und eine B-Ziehung in beliebiger Reihenfolge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Es gibt neun gleichwahrscheinliche geordnete Folgen.

      P(AA)=19\mathsf{P(AA)=\frac19}
      P(AB oder BA)=29\mathsf{P(AB\textsf{ oder }BA)=\frac29}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Zweimal A19\mathsf{\frac19}
    2. Einmal A und einmal B29\mathsf{\frac29}
  5. Aufgabe 5Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge · TransferAus A und B wird dreimal unabhängig und gleichwahrscheinlich gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein A.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Nur BBB enthält kein A.

      P(mindestens ein A)=1−18=78\mathsf{P(\textsf{mindestens ein A})=1-\frac18=\frac78}

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit78\mathsf{\frac78}
  6. Aufgabe 6Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge · TransferJemand zählt sechs ungeordnete Zweierauswahlen aus drei Sorten und setzt jede Wahrscheinlichkeit gleich 1/6. Er zieht tatsächlich zweimal unabhängig und gleichwahrscheinlich eine Sorte. Erkläre den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      AA hat nur eine geordnete Folge, AB dagegen zwei.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die neun geordneten Folgen sind gleichwahrscheinlich, die sechs Multimengen sind es nicht.

    Ergebnis

    1. Fehler erklärenNicht gleichwahrscheinliche Multimengen wurden wie Laplace-Ergebnisse behandelt; AA hat Chance 1/9, AB als Multimenge 2/9.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe, ob die Reihenfolge zählt und Wiederholungen möglich sind.
  • Ich begründe die Zählregel und unterscheide Anzahl und Wahrscheinlichkeit.
  • Ich erkläre, warum Multimengen beim zufälligen Ziehen nicht gleichwahrscheinlich sein müssen.

AT Academy · Version 2026-10-21

Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge | AT Academy