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Kombinatorik · Erklären & üben

Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge

Geordnete Ziehungen ohne Zurücklegen wählen verschiedene Objekte für unterscheidbare Positionen aus.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Positionen unterscheiden Ergebnisse

Die Auswahl ist eine Variation ohne Wiederholung. Jeder Platz hat eine Bedeutung, etwa erster und zweiter Rang. Ein Objekt darf nur einen Platz besetzen.

  1. Markiere die Plätze.

  2. Streiche bereits ausgewählte Objekte aus dem Vorrat.

AB≠BA\mathsf{AB\ne BA}

Rollenzuordnung macht die Reihenfolge fachlich sichtbar.

So geht es am Beispiel

A, B, C bewerben sich um Leitung und Stellvertretung. Welche Besetzungen gibt es?

Leitung A erlaubt B oder C als Vertretung; entsprechend geht es für B und C.

Ergebnis

AB, AC, BA, BC, CA, CB: 6 Besetzungen.

Erklärung 02

Abnehmende Faktoren

Bei n verschiedenen Objekten und k unterscheidbaren Plätzen sind n und k ganze Zahlen, n ist nichtnegativ und k liegt zwischen 0 und n. Leere Auswahl zählt einmal.

  1. Multipliziere genau k abnehmende Faktoren.

  2. Verwechsle die Anzahl der Plätze nicht mit der Anzahl der Objekte.

V(n,k)=n!(n−k)!\mathsf{V(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}}

Ohne Wiederholung sinkt die Zahl der Möglichkeiten: fünf, vier, drei.

So geht es am Beispiel

Fünf Läufer erreichen ohne Gleichstand das Ziel. Wie viele mögliche Besetzungen der ersten drei Plätze gibt es?

Die drei Plätze bieten nacheinander 5, 4 und 3 Möglichkeiten.

V(5,3)=5⋅4⋅3=60\mathsf{V(5,3)=5\cdot4\cdot3=60}

Ergebnis

60 Podiumsbesetzungen.

Erklärung 03

Gleichwahrscheinliche Folgen

Bei gleichmäßiger Ziehung aus den jeweils verbleibenden Objekten sind alle geordneten Folgen gleicher Länge gleich wahrscheinlich. Eine festgelegte Folge hat die Kehrwertchance der Anzahl. Werden alle Objekte angeordnet, entsteht eine Permutation ohne Wiederholung.

  1. Prüfe die Gleichwahrscheinlichkeit.

  2. Zähle günstige Folgen auf derselben Ergebnisebene.

P(eine festgelegte Folge)=1V(n,k)\mathsf{P(\textsf{eine festgelegte Folge})=\frac1{V(n,k)}}

So geht es am Beispiel

Vier Kugeln A, B, C, D werden gleichmäßig ohne Zurücklegen gezogen. Wie wahrscheinlich ist zuerst A und dann B?

P(AB)=14⋅13=112\mathsf{P(AB)=\frac14\cdot\frac13=\frac1{12}}

Ergebnis

Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/12.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge · EinstiegSechs verschiedene Karten stehen bereit. Zwei werden nacheinander ohne Zurücklegen gewählt. Wie viele geordnete Folgen gibt es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Für die zweite Karte bleiben fünf Möglichkeiten.

      N=6⋅5=30\mathsf{N=6\cdot5=30}

    Ergebnis

    1. Folgen30\mathsf{30}
  2. Aufgabe 2Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge · EinstiegSieben Personen besetzen drei verschiedene Ämter. Niemand übernimmt zwei Ämter. Bestimme die Zahl der Besetzungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      N=7⋅6⋅5=210\mathsf{N=7\cdot6\cdot5=210}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Jeder Faktor gehört zu einem anderen Amt.

    Ergebnis

    1. Besetzungen210\mathsf{210}
  3. Aufgabe 3Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge · AnwendenFülle die Vorlage mit allen geordneten Zweierfolgen aus A, B, C ohne Wiederholung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Vollständige Folgen

    Vorbereitete Tabelle: Zwei Plätze aus A, B, C; 1. Platz, 2. Platz. Leere Zeilen zum systematischen Eintragen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Ordne zuerst nach dem ersten Zeichen; ergänze jeweils die zwei verbleibenden Zeichen.

    Ergebnis

    1. Vollständige FolgenAB, AC, BA, BC, CA, CB.
  4. Aufgabe 4Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge · AnwendenAus fünf unterscheidbaren Kugeln A bis E werden zwei gleichmäßig ohne Zurücklegen gezogen. Wie wahrscheinlich ist die genaue Folge C, A?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(CA)=15⋅14=120\mathsf{P(CA)=\frac15\cdot\frac14=\frac1{20}}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Beide Positionen sind festgelegt.

    Ergebnis

    1. Wahrscheinlichkeit120\mathsf{\frac1{20}}
  5. Aufgabe 5Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge · TransferEin vierstelliger Code verwendet vier verschiedene Ziffern aus 1 bis 6. Wie viele Codes beginnen mit 2?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die erste Stelle ist fest. Für die übrigen drei Stellen bleiben fünf, vier und drei Ziffern.

      N=5⋅4⋅3=60\mathsf{N=5\cdot4\cdot3=60}

    Ergebnis

    1. Codes mit Beginn 260\mathsf{60}
  6. Aufgabe 6Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge · TransferAus vier verschiedenen Objekten sollen fünf Plätze ohne Wiederholung besetzt werden. Ist das möglich? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Jedes Objekt darf nur einmal vorkommen. Nach vier Plätzen ist der Vorrat leer.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Fakultätsformel gilt hier nicht, weil die Zahl der Plätze größer als die Zahl der Objekte ist.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. BegründungUnmöglich; nur vier verschiedene Objekte für fünf Plätze.
    2. Mögliche Besetzungen0\mathsf{0}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe, ob die Reihenfolge zählt und Wiederholungen möglich sind.
  • Ich begründe die Zählregel und unterscheide Anzahl und Wahrscheinlichkeit.
  • Ich verwende für besetzte Positionen abnehmende Auswahlzahlen.

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