Zahlen und Rechnen · Erklären & üben

Gerade Zahlen

Lassen sich Dinge vollständig zu Paaren ordnen? Diese Idee hilft dir, gerade und ungerade Zahlen zu unterscheiden. Danach kannst du die Entscheidung auch ohne Abzählen treffen.

Zu den Aufgaben

Schritt für Schritt

Eine Zahl auf Geradheit prüfen

Prüfe zuerst: Du untersuchst eine ganze Zahl.
Lies und markiere die Einerziffer, also die letzte Ziffer.
Vergleiche sie mit 0, 2, 4, 6 und 8. Eine dieser Ziffern bedeutet gerade; die anderen bedeuten ungerade.
Notiere die Entscheidung und begründe sie mit der Einerziffer.
Wenn du unsicher bist, ordne eine kleine Menge zu Paaren: kein Rest bedeutet gerade, ein Rest bedeutet ungerade.

So geht es am Beispiel

Prüfe 84 und zeige, warum die Einerziffer ausreicht.

84 besteht aus 8 Zehnern und 4 Einern.

Die 8 Zehner ergeben 80 Dinge. Teile sie in Paare.

\mathsf{80 \div 2 = 40}

Aus den 4 Einern entstehen weitere 2 Paare.

\mathsf{4 \div 2 = 2}

Addiere beide Anzahlen von Paaren.

\mathsf{40 + 2 = 42}

Es bleibt kein Rest. Die Einerziffer 4 bestätigt die Regel.

\mathsf{84 \div 2 = 42}

Im Überblick

Teil der Zahl
8 Zehner
Anzahl
80
Paare
40
Teil der Zahl
4 Einer
Anzahl
4
Paare
2
Teil der Zahl
Zusammen
Anzahl
84
Paare
42 ohne Rest

Erklärung 01

Paare ohne Rest

Eine ganze Zahl ist gerade, wenn sie sich ohne Rest durch 2 teilen lässt. Bei einer Menge kannst du dazu immer zwei Dinge verbinden. Bleibt nichts übrig, war die Anzahl gerade. Die beiden gleich großen Gruppen enthalten jeweils die Hälfte.

Prüfe zuerst: Du untersuchst eine ganze Zahl.
Lies und markiere die Einerziffer, also die letzte Ziffer.
Vergleiche sie mit 0, 2, 4, 6 und 8. Eine dieser Ziffern bedeutet gerade; die anderen bedeuten ungerade.
Notiere die Entscheidung und begründe sie mit der Einerziffer.
Wenn du unsicher bist, ordne eine kleine Menge zu Paaren: kein Rest bedeutet gerade, ein Rest bedeutet ungerade.

Erklärung 02

Die Einerziffer entscheidet

Bei einer ganzen Zahl brauchst du nur die letzte Ziffer. Endet sie auf 0, 2, 4, 6 oder 8, ist sie gerade. Alle Zehner, Hunderter und Tausender lassen sich in Paare zerlegen. Deshalb entscheidet der Rest an der Einerstelle.

Erklärung 03

Ungerade Zahlen

Eine ganze Zahl ist ungerade, wenn beim Paaren genau ein Element übrig bleibt. Ihre Einerziffer ist 1, 3, 5, 7 oder 9. Aufeinanderfolgende ganze Zahlen wechseln zwischen gerade und ungerade.

Erklärung 04

Auch die Null ist gerade

Bei 0 Dingen bleibt kein ungepaartes Ding übrig. Auch die Rechnung passt.

\mathsf{0 \div 2 = 0}

Daher ist 0 gerade. Gerade und ungerade verwenden wir hier nur für ganze Zahlen, nicht für Kommazahlen.

Anschaulich erklärt

Mathematik zum Anschauen

Acht Punkte bilden vier vollständige Paare. Bei neun Punkten bleibt nach vier Paaren ein eingerahmter Punkt übrig.

Bei 248, 135 und 700 ist die Einerziffer eingerahmt. Gerade Einerziffern sind null, zwei, vier, sechs und acht. Null ist gerade.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Gerade Zahlen · EinstiegVerbinde die acht Punkte zu Paaren. Schreibe anschließend auf, ob die Anzahl gerade ist und warum.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Deine Antwort und Begründung
Tipp anzeigen
Jeder Punkt gehört zu genau einem Paar.
Lösung & Rechenweg
Ergebnisse & Teilantworten
1. Darstellung zu Aufgabe 1
2. Deine Antwort und Begründung
  Es entstehen vier Paare ohne Rest. Die Anzahl 8 ist gerade.
  Verbinde jeweils zwei Punkte zu einem Paar.
  $\mathsf{8 \div 2 = 4}$
  Es entstehen vier vollständige Paare. Kein Punkt bleibt übrig.
02
Aufgabe 2Gerade Zahlen · EinstiegOrdne die elf Punkte zu Paaren. Markiere den Rest und erkläre die Zuordnung zu gerade oder ungerade.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Deine Antwort und Begründung
Tipp anzeigen
Nicht jeden Punkt mehrfach verbinden.
Lösung & Rechenweg
Ergebnisse & Teilantworten
1. Darstellung zu Aufgabe 2
2. Deine Antwort und Begründung
  Es entstehen fünf Paare und ein Restpunkt. Die Anzahl 11 ist ungerade.
  Verbinde zunächst zehn Punkte zu fünf Paaren.
  Der elfte Punkt bleibt ohne Partner. Markiere ihn.
  Ein Restpunkt bedeutet: Die Anzahl ist ungerade.
03
Aufgabe 3Gerade Zahlen · EinstiegTrage die Zahlenkarten 4, 7, 10, 13 und 16 in die passende Spalte ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Darstellung zu Aufgabe 3
Gerade Ungerade
Deine Antwort
Tipp anzeigen
Jede Karte wird genau einmal eingetragen.
Lösung & Rechenweg
Ergebnisse & Teilantworten
1. Darstellung zu Aufgabe 3
  Darstellung zu Aufgabe 3
  Gerade Ungerade
  4 7
  10 13
  16
2. Deine Antwort
  Gerade: 4, 10, 16. Ungerade: 7, 13.
  Prüfe bei jeder Zahl die Einerziffer.
  Die Zahlen 4, 10 und 16 enden auf 4, 0 und 6. Sie sind gerade.
  Die Zahlen 7 und 13 enden auf 7 und 3. Sie sind ungerade.
04
Aufgabe 4Gerade Zahlen · EinstiegSetze die Folge der geraden Zahlen um vier Zahlen fort: 0, 2, 4, 6, __, __, __, __. Beschreibe die Schrittweite.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung
Ergebnis
Dein Rechenweg
Tipp anzeigen
Null gehört zur Folge der geraden Zahlen.
Lösung & Rechenweg
Ergebnisse & Teilantworten
1. Rechnung
  $\mathsf{6 + 2 = 8}$
  $\mathsf{8 + 2 = 10}$
  $\mathsf{10 + 2 = 12}$
  $\mathsf{12 + 2 = 14}$
2. Ergebnis
  Die Folge geht mit 8, 10, 12 und 14 weiter. Die Schrittweite beträgt 2.
3. Dein Rechenweg
  Die Folge steigt bei jedem Schritt um 2. Rechne nach 6 viermal weiter.
  $\mathsf{6 + 2 = 8}$
  $\mathsf{8 + 2 = 10}$
  $\mathsf{10 + 2 = 12}$
  $\mathsf{12 + 2 = 14}$
  Die Einerziffern 8, 0, 2 und 4 bestätigen: Alle ergänzten Zahlen sind gerade.
05
Aufgabe 5Gerade Zahlen · StandardUntersuche die Zahlen 126, 231 und 480. Ergänze Einerziffer und Zuordnung in der Tabelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Darstellung zu Aufgabe 5
Zahl Einerziffer Gerade/ungerade
126
231
480
Deine Antwort
Tipp anzeigen
Nicht die erste Ziffer verwenden.
Lösung & Rechenweg
Ergebnisse & Teilantworten
1. Darstellung zu Aufgabe 5
  Darstellung zu Aufgabe 5
  Zahl Einerziffer Gerade/ungerade
  126 6 gerade
  231 1 ungerade
  480 0 gerade
2. Deine Antwort
  126: Einerziffer 6, gerade.
  231: Einerziffer 1, ungerade.
  480: Einerziffer 0, gerade.
  Lies jeweils die letzte Ziffer.
  126 endet auf 6 und ist gerade.
  231 endet auf 1 und ist ungerade.
  480 endet auf 0 und ist gerade.
06
Aufgabe 6Gerade Zahlen · StandardSchreibe alle geraden Zahlen von 31 bis 41 auf. Erkläre kurz, wie du sie findest.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Deine Antwort und Begründung
Tipp anzeigen
Bereichsgrenzen mitprüfen.
Lösung & Rechenweg
Ergebnisse & Teilantworten
1. Deine Antwort und Begründung
  Die gesuchten Zahlen sind 32, 34, 36, 38 und 40.
  31 ist ungerade. Beginne deshalb mit 32.
  Gehe jeweils zwei weiter: 32, 34, 36, 38, 40.
  40 liegt noch im Bereich. Die nächste gerade Zahl 42 liegt außerhalb.
07
Aufgabe 7Gerade Zahlen · StandardZeichne zwölf Punkte und teile sie sichtbar in zwei gleich große Gruppen. Erkläre, wie dies die Geradheit zeigt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Deine Antwort und Begründung
Tipp anzeigen
Finde eine andere Anordnung mit derselben Anzahl an Paaren.
Lösung & Rechenweg
Ergebnisse & Teilantworten
1. Darstellung zu Aufgabe 7
2. Deine Antwort und Begründung
  Jede Gruppe enthält sechs Punkte. Die Aufteilung hat keinen Rest, daher ist 12 gerade.
  $\mathsf{12 \div 2 = 6}$
  Zeichne genau zwölf Punkte.
  Verteile sie gleichmäßig auf zwei Gruppen mit je sechs Punkten.
  $\mathsf{12 \div 2 = 6}$
  Die Aufteilung gelingt ohne Rest. Deshalb ist 12 gerade.
08
Aufgabe 8Gerade Zahlen · StandardNoah liest bei 305 die erste Ziffer 3 und sagt: „Die 3 entscheidet.“ Formuliere eine richtige Begründung für die Zuordnung von 305.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Deine Antwort und Begründung
Tipp anzeigen
Ein zufällig richtiges Ergebnis ersetzt keine richtige Regel.
Lösung & Rechenweg
Ergebnisse & Teilantworten
1. Deine Antwort und Begründung
  305 ist ungerade, weil die Einerziffer 5 ist. Die erste Ziffer entscheidet nicht.
  Die letzte Ziffer von 305 ist 5.
  5 ist eine ungerade Einerziffer. Daher ist 305 ungerade.
  Noahs Ergebnis passt zufällig. Seine Begründung mit der ersten Ziffer ist aber falsch.
09
Aufgabe 9Gerade Zahlen · StandardPrüfe die Zahl 0 mit der Teilbarkeitsregel. Formuliere einen vollständigen Erklärungssatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Deine Antwort und Begründung
Tipp anzeigen
Nicht behaupten, Null könne mangels sichtbarer Paare nicht gerade sein.
Lösung & Rechenweg
Ergebnisse & Teilantworten
1. Deine Antwort und Begründung
  0 ist gerade, weil die Division durch 2 ohne Rest aufgeht.
  $\mathsf{0 \div 2 = 0}$
  Prüfe, ob sich 0 ohne Rest durch 2 teilen lässt.
  $\mathsf{0 \div 2 = 0}$
  Es bleibt kein Rest. Damit erfüllt 0 die Definition einer geraden Zahl.
10
Aufgabe 10Gerade Zahlen · Transfer„Wenn die erste Ziffer gerade ist, ist auch die ganze Zahl gerade.“ Prüfe diese Behauptung an der Zahl 27. Ist 27 gerade oder ungerade? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Deine Antwort und Begründung
Tipp anzeigen
Erste Ziffer und Einerziffer unterscheiden; es muss kein eigenes Gegenbeispiel erfunden werden.
Lösung & Rechenweg
Ergebnisse & Teilantworten
1. Deine Antwort und Begründung
  27 ist ungerade, obwohl die erste Ziffer 2 gerade ist. Die Behauptung ist falsch; die Einerziffer 7 entscheidet.
  Die erste Ziffer von 27 ist 2. Sie ist gerade.
  Entscheidend ist jedoch die Einerziffer 7. Deshalb ist 27 ungerade.
  Dieses Gegenbeispiel widerlegt die Behauptung.
11
Aufgabe 11Gerade Zahlen · TransferDie Zahl 62 wird um 1 erhöht. Bestimme die neue Zahl und erkläre, warum sich ihre Zuordnung ändert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Deine Antwort und Begründung
Tipp anzeigen
Mit Einerziffern oder Paaren gleichwertig erklären.
Lösung & Rechenweg
Ergebnisse & Teilantworten
1. Deine Antwort und Begründung
  Die neue Zahl ist 63. Zu 31 Paaren kommt ein einzelnes Element hinzu; 63 ist deshalb ungerade.
  62 ist gerade. Die Zahl lässt sich in 31 Paare ordnen.
  $\mathsf{62 \div 2 = 31}$
  Füge ein einzelnes Element hinzu.
  $\mathsf{62 + 1 = 63}$
  Das zusätzliche Element bleibt ohne Partner. Daher ist 63 ungerade.
12
Aufgabe 12Gerade Zahlen · TransferZeichne sechs Punkte als drei Paare. Ergänze einen siebten Punkt. Markiere den einzelnen Punkt und erkläre: Ist die neue Anzahl gerade oder ungerade?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Deine Antwort und Begründung
Tipp anzeigen
Die Anzahl ist vorgegeben. Den ungepaarten siebten Punkt sichtbar markieren.
Lösung & Rechenweg
Ergebnisse & Teilantworten
1. Darstellung zu Aufgabe 12
2. Deine Antwort und Begründung
  Sechs Punkte bilden drei Paare. Nach dem Ergänzen bleibt ein Punkt ohne Partner: 7 ist ungerade.
  Zeichne drei Paare mit insgesamt sechs Punkten.
  Füge den siebten Punkt hinzu und markiere ihn als einzelnen Punkt.
  Vorher war die Anzahl 6 gerade. Danach ist die Anzahl 7 ungerade.

Darstellung zu Aufgabe 3
Gerade	Ungerade
4	7
10	13
16

Darstellung zu Aufgabe 5
Zahl	Einerziffer	Gerade/ungerade
126	6	gerade
231	1	ungerade
480	0	gerade

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann die Paarregel erklären.
Ich erkenne gerade Zahlen an der Einerziffer.
Ich kann begründen, warum 0 gerade ist.

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